15 泰勒公式

1第三章微分中值定理与导数的应用第二节泰勒公式内容提要1.泰勒公式2.常用函数的泰勒公式问题提出,),()(00次连续的导数内有在设函数nxxxfnnnxxaxxaxxaaxPn)()()()(0202010次多项式：是否存在)(0)()()(lim00nnxxxxxPxf使得：.)()(0次近似多项式附近的在是这时我们称nxxfxPn.)()(0次近似多项式附近的在是显然，若nxxfxPn])[()()(00nnxxoxPxfxx很小时有：则当)()(xPxfn进而：问题：有怎样关系？与存在，则若满足条件的)()()(xfxPxPnn0)()()(lim00nnxxxxxPxf由：有：对任意,nk0)()()()()(lim)()()(lim000000nnknxxknxxxxxPxfxxxxxxxPxf皮亚诺余项)(0)]()([lim000xfaxPxfnxx由)(0)()()(lim),(010000xfaxxxPxfxfanxx由!2)(0)()()(lim),(),(022001000xfaxxxPxfxfaxfanxx由,)!1()(,,!2)(),(),(0)1(1020100nxfaxfaxfaxfann由!)(0)()()(lim0)(00nxfaxxxPxfnnnnxx基本定理定理(taylor公式）),()(00xxxf在设函数有：在对任意次连续的导数有),,(,100xxxnnnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000故有：)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn有估计式：且次泰勒展开的余项点在称作其中：)(,)()(0xRnxxfxRnn)()10()()!1()]([)(1000)1(拉格朗日余项nnnxxnxxxfxR)()10()()1(!)]([)(1000)1(柯西余项nnnnxxnxxxfxR)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn麦克劳林公式展开式：时的当taylor00x称作麦克劳林公式常见函数的麦克劳林公式.)(.1麦克劳林公式阶的带有拉格朗日余项的求函数例nexfxxnexfxfxfxf)()()()()(解：1)0()0()0()0()(nffff10)!1(!!2112nxnxxnenxxxe)10()!12(]2)12(sin[)1()!12()1(!5!3sin1212153kkkkxkkxkxxxxx类似地有：)10()!22(])1(cos[)1()!2()1(!4!21cos221242kkkkxkkxkxxxx.)1ln()(.2麦克劳林公式阶的带有柯西余项的求函数例nxxf,3,2,1)1()!1()1()(1)(kxkxfkkk解：,3,2,1)!1()1()(,0)0(1)(kkxffkk11132)1()1()1()1(32)1ln(nnnnnnxxnxxxxx)1(x.11)(.3麦克劳林公式阶的带有皮亚诺余项的求函数例nxxf,3,2,1)1(!)(1)(kxkxfkk解：,3,2,1!)(,1)0()(kkxffk)(1112nnxoxxxx)1(x)1()()(1)(11112xxoxxxxxnnn类似地：)1()()(11122422xxoxxxxnnn类似地：泰勒公式的应用20)1ln(lim.4xxxx求极限：例)(2)1ln(22xoxxx解：由：)(2)1ln(22xoxxx222020)(2lim)1ln(limxxoxxxxxx2200)(lim21limxxoxx21..5出误差估计公式的近似计算公式，并给给出例e10)!1(!!2112nxnxxnenxxxe解：10)!1(!1!2111nene!1!2111ne近似近似公式：)!1(ne绝对误差:误差估计公式,1)(lim)(.60xxfxfx足：有二阶连续的导数，满设例xxfxf)(,0)(证明：连续有二阶连续的导数，证明：)()(xfxfxxfxxffxxfxxx)(lim)(lim)0(1)(lim000，由：0)(limlim00xxfxxx)0(0)0()(lim)(lim100fxfxfxxfxx)10(2)()0()0()(2xxfxffxf0)(xf证毕xxxfxxf22)()()10(2)()(2xxfxxf