27.2.1相似三角形的判定(4)AA

∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCDFACDEAB∠A=∠D△ABC∽△DEFBACDEFABACBCDEDFEF△ABC∽△DEFADEBCABCDE（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？理由：∵AC2=AD•ABACADABAC又∠A=∠A（2）如图,△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．相似三角形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似.相似解：相似∴△ACD∽△ABC平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？一定相似观察作△ABC和△A‘B’C‘，使得∠A＝∠A’，∠B＝∠B‘，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C’吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？''''''ACCACBBCBAAB、、探究ABCA'B'C'满足：∠C=∠C'''''''ABBCCAABBCCA△ABC∽△A'B'C'探究把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求证:△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A',AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o例1、如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证:PA·PB＝PC·PD证明：连接AC、BD．∵∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，∴∠A＝∠D同理∠C＝∠B∴△PAC∽△PDBPBPCPDPA即PA·PB＝PC·PD·ABCDOP例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.AEFBCD例题分析解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）例3已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．AEADABDF654DF310DF解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD‖BC，∠B=900∴∠DAE=∠AEB∴△AFD∽△EBA又AB=4，AD=5，AE=6∵DF⊥AE∴∠DFA=∠B=900例4，已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．90CDA（1）证明：连接EC∵∠BAC，∠BEC都是劣弧BC所对的圆周角∴∠BAC=∠BEC∵CD是△ABC的高∵BE为圆O的直径90BCE则∠CDA=∠BCE∴△ACD∽△EBC（2）解：在Rt△CBD中，CD=6，BD=81086BC22在Rt△ACD中，CD=6，AD=35336AC22BCCDBEAC又106BE5355BEBCCDBEAC∴AC•BC=BE•CD1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．BACB'A'C'已知：等腰△ABCAB=AC和等腰△A'B'C'，A'B'=A'C'且有∠B=∠B',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵等腰三角形AB=AC∴∠B=∠C∴△ABC∽△A'B'C'∵等腰三角形A'B'=A'C'∴∠B'=∠C'∵∠B=∠B',∴∠C=∠C'练习已知:等腰△ABC有AB=AC和△A'B'C'有A'B'=A'C'，并且∠A=∠A',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵△ABC中AB=AC，∠B=∠C∴2∠B=180°－∠A1902BA同理△A'B'C'中A'B'=A'C'，∠B'=∠C'∴2∠B'=180°－∠A'1'90'2BA又∠A=∠A'∵∠B=∠B',∵△ABC∽△A'B'C'BACB'A'C'2.如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．ＡＢＣＤ12△ACD∽△ABC△CBD∽△ABC证明：∵∠ACB=∠ADC=90°又∠A=∠A=90°∴△ACD∽△ABC∵∠CDB=∠ACB=90°∠B=∠B=90°∴△CBD∽△ABC3、已知：如图，A、B、C、D是在同一圆上，弦AB、DC相交于点P。求证：（1）∠PCB=∠PAD；（2）PA·PB=PC·PD。PADCB4、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD试问1、△ABD与△DCB是什么关系？证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°∴△ABD∽△DCBABCD(2)∵△ABD∽△DCBADBDBDBC即:BD2=AD·BC2、求证：BD2=AD·BCABCDEABC21OCBADOCDABABCDE相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：两角对应相等三个角对应相等三边对应成比例课堂小结方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所得三角形与原三角形相似方法3：三边对应比相等方法4：两边对应比相等且夹角相等