8、26.3(6)二次函数的应用

九年级第一学期数学例1在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米.要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上.设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积.ABCEFGD解：∵△ABC为等腰直角三角形∴△AFE和△DGB为等腰直角三角形AE=EF=x，GB=DG=xFG=AB–AF–GB=20–x∴y=(20–2x)x=–2x2+20x（0x10）当x=4时，y=48当EF为4厘米时,矩形面积为48平方厘米。例2广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是).40(6232xxxy当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离为多少？最大的高度是多少？xyO12345-1654321解：23(2)6.2yx∵302∴水平距离2米时，最大高度为6米例3某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价.据统计，该产品的日销售量y（千克）与每件产品的销售价x（元）之间具有一次函数的关系，当销售价分别定为25元、30元时，相应的日销售量为25千克和20千克.(1)求日销售量y（千克）关于每件产品的销售价x（元）的函数解析式；(3)求出当销售价为20元以及其后依次每增加5元时相应的日销售利润；并分析产品的销售价定为多少元时日销售利润最大.(2)根据“日销售利润=每件产品的销售利润×日销售量”写出日销售利润w（元）关于每件产品的销售价（x）元的函数解析式；例3某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价.据统计，该产品的日销售量y（千克）与每件产品的销售价x（元）之间具有一次函数的关系，当销售价分别定为25元、30元时，相应的日销售量为25千克和20千克.(1)求日销售量y（千克）关于每件产品的销售价x（元）的函数解析式；解：（1）设y=kx+b（k≠0）由题意得25252030kbkb解得150kb∴y=–x+50（20≤x≤50）例3某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价.据统计，该产品的日销售量y（千克）与每件产品的销售价x（元）之间具有一次函数的关系，当销售价分别定为25元、30元时，相应的日销售量为25千克和20千克.(2)根据“日销售利润=每件产品的销售利润×日销售量”写出日销售利润w（元）关于每件产品的销售价（x）元的函数解析式；解：（2）w=(x–20)(–x+50)∴w=–x2+70x–1000（20≤x≤50）例3某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价.据统计，该产品的日销售量y（千克）与每件产品的销售价x（元）之间具有一次函数的关系，当销售价分别定为25元、30元时，相应的日销售量为25千克和20千克.(3)求出当销售价为20元以及其后依次每增加5元时相应的日销售利润；并分析产品的销售价定为多少元时日销售利润最大.解：（3）x(元)20253035404550W(元)01252002252001250∴w=–x2+70x–1000=–(x–35)2+225答：产品的销售价定位35元时日利润最大为225元探索：施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）2+6，∵抛物线过O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=16，1616∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，x2+2x．即y=-（3）设点A的坐标为（m，-16m2+2m），∴OB=m，AB=DC=-根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，16m2+2m∴BC=12-2m，即AD=12-2m，1616∴L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-13（m-3）2+15．∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．练习1、枇杷是莆田名果之一．某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为40千克．现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少．根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克．问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？?1.枇杷是莆田名果之一．某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为40千克．现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少．根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克．问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？设增种x棵时，果园的总产量为y千克，根据题意得：y=（100+x）（40-0.25x）=4000-25x+40x0.25x2=-0.25x2+15x+4000，∵a=-0.250，∴当x=-=-=30时，y最大，2ba1520.25y最大值===4225．244acba24(0.25)4000154(0.25)解:练习2、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案)．解：（1）设y=kx+b由图象可知，3040020,:402001000kbkkbb解之得∴y=-20x+1000（30≤x≤50）（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x2+1400x-20000．∵a=-200，∴P有最大值．当x=-14002(20)=35时，P最大值=4500．即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．（3）31≤x≤34或36≤x≤39．练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2+k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．应用与探究本节课你有什么收获？