矩阵二次型

第八章二次型目录上页下页返回结束一、二次型及其标准形的概念nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,121,称为是复数时当faij复二次型,称为是实数时当faij实二次型（我们仅讨论实二次型）目录上页下页返回结束例如：22(,)45fxyxxyy22(,,)2fxyzxyxzyz1234122324(,,,)fxxxxxxxxxx都是二次型。22(,)5fxyxy22(,)22fxyxyx不是二次型。目录上页下页返回结束只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形（或法式）．例如23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形.目录上页下页返回结束1．用和号表示nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,对二次型,ijjiaa取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij则二、二次型的表示方法目录上页下页返回结束2211111222121122211222212nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx则（1）式可以表示为11112211()nnaxaxxxa21122222()nnaxaxxxa1122()nnnnnnaxaxxax,1nijijijaxx二次型用和号表示目录上页下页返回结束)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(目录上页下页返回结束.,为对称矩阵其中则二次型可记作AAxxfT,,21212222111211nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,目录上页下页返回结束则,AxxfT其中为对称阵：.AAAT——二次型的矩阵表示式说明对称阵与二次型一一对应；若，AxxfT)(AAT二次型的矩阵满足：A⑴的对角元是的系数；Aiia2ix⑵的元是系数的一半.A)(),(jijijixxAffA则对称阵称为二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；目录上页下页返回结束三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型对称矩阵fA;的二次型叫做对称矩阵Af.的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA目录上页下页返回结束解,a,a,a321332211,aa22112,aa03113.aa33223.330322021A.64323221232221的矩阵写出二次型xxxxxxxf例１目录上页下页返回结束22123121223(1)(,,)223fxxxxxxxxx练习求二次型的矩阵f11031223002A解：2221234124122334(2)(,,,)27224fxxxxxxxxxxxxx1100121001020027A解：目录上页下页返回结束nnnxxxxxxxxf132211),,()3(1000021100022100002100002100002A解：目录上页下页返回结束12323101012A－－例2：求对称矩阵所对应的二次型。A1232221231213(,,)223fxxxxxxxxxx解：()203rAAc例3：已知二次型的秩为2，求参数c。222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxxf51315333Ac解：目录上页下页返回结束四、化二次型为标准形.,,,,,,2121的一个线性变换到变量称为由变量nnyyyxxxnnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．目录上页下页返回结束系数矩阵nnnnnncccccccccC212222111211nxxxX21nyyyY21则线性变换可记作：CYX),(cijC记C若是可逆矩阵，则称线性变换（2）是非退化线性变换C若是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换目录上页下页返回结束二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换，使Cyx)(xfninjjiijxxa11Cyx这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.ik0,1,1.)(2222211nnykykykCyf标准形的矩阵是对角阵.目录上页下页返回结束经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：AxxfTCyxByyfT因为有AxxfT)()(CyACyT,)(yACCyTT所以与的关系为：AB.ACCBT目录上页下页返回结束)()()2()1(ArBrACCBT仍是对称矩阵则因为BACCCACACCBTTTTTTTT)()()1()()()()2(ArACrBrACCBT所以11)(BCCAT)()()(1BrBCrAr所以)()(ArBr所以目录上页下页返回结束以上说明：.,的秩不变且二次型变为对称矩阵的矩阵由对称矩阵二次型后，经过可逆线性变换二次型fACCBAfCYXAXXfTT目录上页下页返回结束矩阵的合同关系定义设和是阶矩阵，nAB若有可逆矩阵，使C,ACCBT则称矩阵与合同.AB说明合同关系是一个等价关系.设与合同，若是对称阵，则也对称阵.ABAB对称阵一定合同,相似与一个对角阵.若与合同，则.)()(BRARAB经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.CyxAAACCT目录上页下页返回结束注释：..1必为对称矩阵的矩阵二次型Af2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）3.“合同”定义中，矩阵A、B为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系4.任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵目录上页下页返回结束化二次型为标准形对二次型作可逆变换，AxxfTCyx相当于对对称阵作合同变换；A把二次型化成标准形相当于把对称阵用合同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，A即寻找可逆阵,使.CACCT),,,(21nkkkdiag定理任给二次型,总)(AAAxxfTT,2222211nnyyyf其中是的矩阵的特征值.n,,,21fA即任何二次型都可用正交变换化为标准形.存在正交变换，使化为标准形fPyx目录上页下页返回结束用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换目录上页下页返回结束解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf例目录上页下页返回结束从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取.)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T目录上页下页返回结束,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P目录上页下页返回结束于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有目录上页下页返回结束解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为目录上页下页返回结束.111111111111EA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(EA有四行分别减去第一行三把二,,,目录上页下页返回结束1000212022101111)1(EA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xEA解方程时当目录上页下页返回结束,11111得基础解系.1111211p单位化即得,0)(,1432xEA解方程时当,1111,1100,0011432可得正交的基础解系目录上页下页返回结束单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有目录上页下页返回结束化为标准型，并指出表示何种二次1,,321xxxf曲面.32