第7章 控制系统设计方法

本章讨论的系统设计问题可以认为是系统分析的逆问题，即对于给定的受控对象模型寻找控制策略，并按照性能指标的要求解出控制器的结构与参数，构成满足性能要求的反馈控制系统。控制系统的设计过程可以在时域进行，也可以在频域进行。如果对象模型是以传递函数的形式给出，通常采用经典控制理论中的频率特性法或根轨迹法完成控制器的设计，即在原有系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能（如相角裕度、剪切频率、误差系数等）进行校正，使校正后的系统达到期望的性能要求。如果对象模型是在状态空间以状态方程形式描述的，则系统的设计过程是在时域进行的，通常是采用状态反馈和极点配置的方法得到控制策略，其中包括状态观测器的设计以及最优控制系统的设计等，其研究内容习惯上称为现代控制理论。本章主要以线性时不变系统为对象讨论几种常用的设计方法，包括串联校正、PID控制器设计、极点配置与状态观测器设计、线性二次型最优控制系统设计等。7.1串联校正本节讨论三种串联校正装置的频域设计方法，即相位超前、相位滞后、相位滞后超前校正装置设计。相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性，对于系统的稳态精度影响较小；相位滞后校正可以明显地改善系统的稳态性能，但会使动态响应过程变缓；相位滞后超前校正则把两者的校正特性结合起来，用于动态、静态特性均要求较高的系统。下面具体讨论三种校正装置的设计与实现问题7.1.1相位超前校正相位超前校正环节可以等效地由电阻电容构成的RC网络来表示。其网络传递函数可以写为1RC)(tui)(tuo2RpszsTsTssUsUsGioc11)()()(其中1212RRRCRT1)/(1Tpz=1/T说明超前校正环节具有极点,零点，由于，因此在s平面极点位于零点的左侧。)/(1TpsTzs/11例7-1使用MATLAB绘制当时的bode图和Nyquist图5.0,,2.0,1.0T=1，MATLAB程序如下：alpha0=0.1T=1fori=1:5alpha(i)=i*alpha0G(i)=tf([alpha(i)*Talpha(i)],[alpha(i)*T1])endbode(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5))figurenyquist(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5))运行程序，得到结果：由图可知：1）最大超前角与所对应的频率随的减小而升高，并有关系式2）处于两个转折频率和1/T的几何中心，即3）超前校正环节提供的最大相位超前角约在之间。若需要更大的超前角，可以采用多个超前环节的串联。mm11arcsinm或21arctanmm)/(1TT165~55说明：由于此网络的增益为，所以在实际应用时，为保证系统的稳态性能，必须增加一个增益为的放大器，即校正网络为11)(TsTssGc例7-2已知原系统开环传递函数为)20030(400)(2ssssG试（1）用bode图设计超前校正装置，设计指标为：静态速度误差系数相角裕度（2）用MATLAB语言绘制校正前后的bode图及单位阶跃响应。10vK40理论分析根据可以求得校正环节的增益10vK5cKMATLAB程序如下：ng=400dg=[1302000]G0=tf(ng,dg)kc=5dPm=40+10[mag,phase,w]=bode(G0*kc)Mag=20*log10(mag)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G0*kc)phi=(dPm-Pm)*pi/180alpha=(1+sin(phi))/(1-sin(phi))Mn=-10*log10(alpha)Wcgn=spline(Mag,w,Mn)T=1/Wcgn/sqrt(alpha)Tz=alpha*TGc=tf([Tz,1],[T,1])figure(1)bode(G0*kc,G0*kc*Gc)；F0=feedback(G0*kc,1)F=feedback(G0*kc*Gc,1)figure(2)step(F0,F)运行程序，得到结果：说明：运行以下语句，可以验证性能指标margin(G0*kc*Gc)经比较看出：校正后系统的快速性得到提高，超调量有所降低，大约由原来的40%下降到29%。例7-3已知原系统开环传递函数为)104.0(100ss（1）绘制原系统的bode图，标出相角裕度和幅值裕度；（2）现引入超前校正装置，绘制校正后系统的bode图，并与原系统的bode图进行比较；（3）绘制校正前后的阶跃响应曲线并进行比较。要求：10106.010262.0)(sssGcMATLAB程序如下：G0=tf(100,[0.04,1,0])[Gm0,Pm0,Wcg0,Wcp0]=margin(G0)Gc=tf([0.0262,1],[0.0106,1])G=Gc*G0[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)bode(G0,G)T0=feedback(G0,1)T=feedback(G,1)figurestep(T0,T)运行程序，得到结果：Gm0=InfPm0=28.0243Wcg0=InfWcp0=46.9701Gm=InfPm=47.5917Wcg=InfWcp=60.3251%原系统%校正后系统从图中看出：展宽了频带，增加了相角裕度，提高了系统的快速性。从图中看出：证明了不但减小了系统的超调量，而且提高了系统的快速性。7.1.2相位滞后校正相位滞后校正的等效RC网络如图所示其网络传递函数可以写为)()(111)()()(pszsTsTssUsUsGioc1RC)(tui)(tuo2R其中1221RRRCRT2)/(1TpTz/1说明滞后校正环节具有极点，零点Tps1因此在s平面上，极点位于零点的右侧Tzs1由于，1例7-4设滞后校正环节的传递函数为设：T=1；β=5，10，15，试绘制滞后校正环节的bode图和Nyquist图11)(TsTssGcMATLAB程序如下：beta0=5T=1fori=1:3beta(i)=i*beta0G(i)=tf([T1],[beta(i)*T1])endfigure(1)bode(G(1),G(2),G(3))figure(2)nyquist(G(1),G(2),G(3))运行程序，得到结果：说明：最大相位滞后角所对应的频率在转折频率处，校正环节的幅值裕度衰减为。Tm1T/1lg20滞后校正环节对高频噪声可以有效的抑制，因此具有低通滤波器特性。例7-5已知原系统开环传递函数)5(10)(sssG要求：稳态误差,剪切频率，相角裕度，试用MATLAB语句编制滞后校正装置的设计程序，绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线。%5ssesradc/240MATLAB程序如下：num=10den=[150]G0=tf(num,den)wcg=2kc=10[mag,phase,w]=bode(G0*kc)magdb=20*log10(mag)Gr=-spline(w,magdb(1,:),wcg)alpha=10^(Gr/20)T=10/(alpha*wcg)Gc=tf([alpha*T1],[T1])F0=feedback(G0*kc,1)F=feedback(G0*kc*Gc,1)figure(1)bode(G0*kc,G0*kc*Gc)figure(2)step(F0,F)运行程序，得到结果：说明：从阶跃响应曲线看出，滞后校正使系统响应速度变慢，但平稳性得到改善，超调变小，振荡次数减少。校正前相角裕度为28校正后相角裕度为63例7-6已知原系统开环传递函数为)104.0(100ss若采用滞后校正装置，试绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线，并与超前校正结果进行比较。15.215.0)(sssGcMATLAB程序如下：G0=tf(100,[0.04,1,0])Gc=tf([0.5,1],[2.5,1])G=Gc*G0[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)figure(1)bode(G0,G)T0=feedback(G0,1)T=feedback(G,1)figure(2)step(T0,T)运行程序，得到结果：说明滞后校正后系统的相角裕度由原来的增加到，而剪切频率由原来的减少到，同时阶跃响应的平稳性得到改善。288.50srad/47srad/7.16MATLAB程序如下：超前校正结果进行比较G0=tf(100,[0.04,1,0])Ga=tf([0.5,1],[2.5,1])G1=Ga*G0Gb=tf([0.0262,1],[0.0106,1])G2=Gb*G0T1=feedback(G1,1)T2=feedback(G2,1)step(T1,'r',T2,'b',1.5)运行程序，得到结果：7．1．3相位超前滞后校正相位超前滞后校正装置的等效RC网络如图所示，其传递函数1R1C)(tui)(tuo2R2C1111)()()(22111sTsTsTsTsUsUsGioc111CRT222CRT1,212211112CRCRCRTT其中超前环节滞后环节例7-7设10;121TT试绘制超前滞后校正环节的bode图和Nyquist图β=10beta=10T1=1T2=10num=conv([T11],[T21])den=conv([T1/beta1],[T2*beta1])Gc=tf(num,den)figure(1)bode(Gc)figure(2)nyquist(Gc)MATLAB程序如下：运行程序，得到结果：说明在bode图幅频特性上，低频段与高频段均为0dB，这表明该环节的总增益为1；在相频特性曲线上，曲线与线交点处的频率刚好是在幅频特性曲线的最低点，其值，当时，整个环节起滞后作用，当时，起超前校正作用。0211/1TT101例7-8已知原系统开环传递函数)15.0)(1()(sssksG试设计超前滞后校正装置，满足下列性能指标：速度误差系数，相角裕度，幅值裕度)(sGc10vK40dBKg10要求：（1）用MATLAB语句绘制校正前后系统的bode图和校正后的阶跃响应；（2）用Simulink进行系统仿真，绘制仿真结构图。理论分析：为了满足速度误差系数，可求得，得未校正系统的相角裕度为，而幅值裕度因此系统是不稳定的10vK10k1.28)/41.1(0sraddBKgg现采用滞后超前校正。为了保持足够的响应速度，取校正后的剪切频率（不至于距离校正前的剪切太远），求得滞后校正部分为：超前校正部分为：于是得滞后超前校正装置的传递函数为sradgc/41.1'14.71114.7ss1143.0143.1ss1143.0143.114.71114.7)(sssssGcMATLAB程序如下：G0=tf(10,conv([10],conv([11],[0.51])))figure(1)margin(G0)Gc1=tf([1.431],[0.1431])Gc2=tf([7.141],[71.41])G=Gc1*Gc2*G0figure(2)margin(G)T=feedback(G,1)figure(3)step(T)运行程序，得到结果：说明：校正后系统的bode图和阶跃响应曲线表明系统具有良好的动态特性，比原来有了明显的改善。说明：校正满足设计要求TransferFcn2100.5s+1.5s+s32TransferFcn17.14s+171.4s+1TransferFcn1.43s+10.143s+1StepScope用Simulink进行系统仿真，仿真结构图如图所示。7.2反馈校正除了前面介绍的三种串联校正方法之外，反馈校正（又称并联校正），也是广泛采用的系统设计方法之一