第1节 等差数列与等比数列

︱高中总复习︱一轮·数学第八章数列与数学归纳法第1节等差数列与等比数列︱高中总复习︱一轮·数学内容简介本节主要包含以下方面的知识点:(1)等差数列的定义;(2)等差数列的通项公式及项的性质;(3)等差数列的求和公式及和的性质;(4)等比数列的定义;(5)等比数列的通项公式及项的性质;(6)等比数列的求和公式及和的性质.考试说明要求:(1)理解等差数列、等比数列的概念;(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式;(3)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.知识梳理例题精讲课前检测︱高中总复习︱一轮·数学知识梳理1.等差数列的定义(1)定义:一般地,如果一个数列,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.(2)等差中项:如果a,A,b,那么A叫做a与b的等差中项.2.等差数列的通项公式及求和公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是,其前n项和是或Sn=.从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一常数成等差数列an=a1+(n-1)d12nnnaaS112nnnad3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n,m∈N*).(n-m)d︱高中总复习︱一轮·数学(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.特别地,当k+l=2m(k,l,m∈N*)时,则.(3)若{an}为等差数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系(1)通项公式:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d≠0时,等差数列的通项公式是关于n的函数;当d=0时,等差数列的通项公式是函数.ak+al=am+anak+al=2am一次常数(2)求和公式:Sn=2dn2+(a1-2d)n,当d≠0时等差数列的前n项和公式是关于n的函数,且常数项为0;当d=0时,等差数列的前n项和公式为.二次Sn=na1︱高中总复习︱一轮·数学5.等比数列的定义(1)定义:一般地,如果一个数列,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母表示(q≠0).(2)等比中项:如果,那么G叫做a与b的等比中项.6.等比数列的通项公式及求和公式如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,那么它的通项公式是,其前n项和是Sn,则(1)当q=1时,Sn=.(2)当q≠1时,Sn=或Sn=.从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数公比qa,G,b成等比数列an=a1·qn-1na1111naqq11naaqq7.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·(n,m∈N*).qn-m︱高中总复习︱一轮·数学(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.特别地,当k+l=2m(k,l,m∈N*)时,则.(3)若{an}为等比数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列,公比为qn.2klmaaa︱高中总复习︱一轮·数学课前检测1.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件C︱高中总复习︱一轮·数学解析:因为S4+S62S5⇔S4+S4+a5+a62(S4+a5)⇔a6a5⇔a5+da5⇔d0,所以“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件.故选C.︱高中总复习︱一轮·数学解析:设等比数列的公比为q,则由a2,a4,a3成等差数列得,a2+a2q=2a2q2,即2q2-q-1=0,解得q=-12或q=1(舍去),又由a1a2a3a4a5=51aq10=511024a=11024得,得a1=1,所以S5=5111aqq=1116,故选D.2.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1a2a3a4a5=11024,且a2,a4,a3成等差数列,则S5等于()(A)3316(B)3116(C)23(D)1116D︱高中总复习︱一轮·数学解析:因为11231,3,aaaa所以11,2,qa所以a4=a1·q3=-8.3.(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案:-8︱高中总复习︱一轮·数学4.(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则22ab=.解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,依题意知,a4=a1+3d=-1+3d=8,解得d=3.b4=b1q3=-q3=8,解得q=-2.所以a2=a1+d=-1+3=2,b2=b1q=-1×(-2)=2,因此22ab=1.答案:1︱高中总复习︱一轮·数学解析:因为am=Sm-Sm-1=4,am+1+am+2=Sm+2-Sm=14,所以am+am+1+am+2=3am+1=18,am+1=6,d=6-4=2,又Sm=1()2mmaa=0,所以a1=-4,从而am+1=6=-4+2m,解得m=5.答案:55.设等差数列{an}前n项和为Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2且m∈N+),则m=.︱高中总复习︱一轮·数学例题精讲考点一等差、等比数列基本量的运算解析:(1)设等差数列首项为a1,公差为d,则a4+a5=2a1+7d=24,①S6=6a1+652d=6a1+15d=48,②由①②得d=4.故选C.答案:(1)C类型一方程组思想【例1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()(A)1(B)2(C)4(D)8︱高中总复习︱一轮·数学(2)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=74,S6=634,则a8=.解析:(2)设{an}的首项为a1,公比为q,则316117,14163,14aqqaqq解得11,42,aq所以a8=14×27=25=32.答案:(2)32︱高中总复习︱一轮·数学规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn;等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn.已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)等差数列的基本量为a1,d;等比数列的基本量为a1,q.在运算过程中,常用基本量去表示未知量和已知量.︱高中总复习︱一轮·数学类型二新的等差、等比数列【例2】已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1的值为()(A)16(1-4-n)(B)16(1-2-n)(C)323(1-4-n)(D)323(1-2-n)︱高中总复习︱一轮·数学解析:设等比数列{an}的公比为q,因为q3=52aa=142=18,所以q=12,从而a1=4,而{anan+1}是以a1a2=8为公比,以q2=14为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1=18(1)4114n=323(1-4-n),选C.︱高中总复习︱一轮·数学考点二等差、等比数列的性质【例3】(1)(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于()(A)5(B)7(C)9(D)11解析:(1)数列{an}为等差数列,设公差为d,所以a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1,所以S5=5a1+542×d=5(a1+2d)=5.故选A.︱高中总复习︱一轮·数学解析:(2)因为{an}为等比数列,且a5a6+a4a7=18,所以a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3556()aa=5log3(a5a6)=10.选B.(2)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+Log3a10等于()(A)12(B)10(C)8(D)2+log35︱高中总复习︱一轮·数学解析:由63SS=3得S6=3S3,又S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4S3,所以S9=7S3,从而96SS=3373SS=73.故选B.变式:设等比数列{an}的前n项和为Sn,若63SS=3,则96SS等于()(A)2(B)73(C)83(D)3︱高中总复习︱一轮·数学考点三等差、等比数列的判断与证明【例4】已知Sn是正项数列{an}的前项和,a2=λ,λSn=21na-2an+1(n∈N*).(1)证明:数列{an}是等差数列;(1)证明:当n≥2时,有212112,2,nnnnnnaSSaaa所以λan=21na-2na-2an+1+2an,所以(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an),︱高中总复习︱一轮·数学又因为an0,所以an+1-an=2,当n=1时,有λS1=22a-2a2=22,所以a1=2,所以a2-a1=2,所以数列{an}是以a1=2为首项,d=2为公差的等差数列.︱高中总复习︱一轮·数学(2)当λ=2时,求数列{an}的通项公式.(2)解:由(1)可知,当λ=2时,{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.︱高中总复习︱一轮·数学【例5】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:n=1时,2a1=S1+1,则a1=1.由题意得Sn+n=2an,Sn+1+(n+1)=2an+1,两式相减得2an+1-2an=an+1+1,即an+1=2an+1.于是an+1+1=2(an+1),又a1+1=2.所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)可知an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.︱高中总复习︱一轮·数学考点四等差数列最值问题解析:法一设等差数列{an}的公差为d,由已知可得a1=16,d=-2,Sn=na1+12nnd=-n2+17n,n∈N*,Sn是关于n的二次函数,开口向下,对称轴为n=8.5,又n∈N*,所以当n=8或9时,Sn取最大值为72.选B.法二设等差数列{an}的公差为d,由已知可得a1=16,d=-2,an=18-2n,当1≤n≤8时,an0;当n=9时,a9=0;当n≥10时,an0.所以S8=S9达到最大值.故选B.【例6】已知等差数列16,14,12,…的前n项和为Sn,那么使Sn取最大值的n等于()(A)8(B)8或9(C)9或10(D)7︱高中总复习︱一轮·数学变式:已知等差数列16,14,12,…的前n项和为Sn,且Sn0,则n的最大值为.解析:Sn=-n2+17n0,0n17,所以n的最大值为16.答案:16︱高中总复习︱一轮·数学点击进入课时训练