有理函数积分

第四节•基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章一、有理函数的积分)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和1.有理函数的分解（1）分母中若有因式，则分解后为()kxa122,()()kkAAAxaxaxa有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：1,k分解后为.Axa其中都是常数12,,,kAAA注:关于部分分式分解如对1()kxa进行分解时1()kxa122,()()kkAAAxaxaxa例如221(1)1ABCxxxxx一项也不能少，因为通分后分子上是的次多项式，可得到个方程，定出个系数，否则x1kkk将可能会得到矛盾的结果.2(1)(1)1AxxBxCx001ACABB111ABC但若221(1)1ABxxxx2(1)1AxBx0,1AA矛盾（2）分母中若有因式，其中2()kxpxq则分解后为240,pq11222222()()kkkMxNMxNMxNxpxqxpxqxpxq特殊地：1,k分解后为2.MxNxpxq其中都是常数,iiMN(1,2,,)ik例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB故25x原式36x3(3)(2)xAxBx223(3)(2)xxxAxBx5A333(3)(2)xxxAxBx6B(3)比较系数法)1)(21(12xxxA2121xCBx20AB20BC52B51C原式=x214512112xx2221(2)(2)()(12)(1)(12)(1)ABxBCxACxxxx1AC45A2.有理函数的积分CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42变分子为)2(2pxM2pMN再分项积分四种典型部分分式的积分:讨论积分2,()nMxNdxxpxq222,24ppxpxqxq令2pxt22,4paq,2MpbN则2()nMxNdxxpxq22()nMtdtta22()nbdtta222,xpxqta,MxNMtb记(2)1,n2()nMxNdxxpxq2212(1)()nMnta221.()nbdtta这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.(1)1,n2MxNdxxpxq2ln()2Mxpxq2arctan;pxbCaa22(,)42pMpaqbN递推公式注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.如231xdxx使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换例2.求积分21.(1)dxxx21(1)dxxx2111(1)1dxxxx2111(1)1dxdxdxxxx1lnln(1).1xxCx解：例3.求解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例4.求解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23思考:如何求提示:变形方法同例4xxxd)4)(1(22)4()1(22xx例5.求xxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例6.求解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC例7.求解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt万能代换t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则sin2sincos22xxx22tan2sec2xx22tan2,1tan2xx22coscossin22xxx221tan2sec2xx221tan2,1tan2xx令tan2xu22sin,1uxu221cos,1uxu2arctanxu221dxduu(sin,cos)Rxxdx2222212,.111uuRduuuu（万能置换公式）例8.求.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxt则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1(sinsin12121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例9.求解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换例10.求积分41.sindxx解法1：tan,2xu41sindxx24641338uuuduu33113[3]833uuCuu331331tantan.822428tan24tan22xxCxx解法2：tanux令2sin,1uxu21,1dxduu41sindxx4221111duuuu241uduu3113Cuu31cotcot.3xxC解法3：可以不用万能置换公式.41sindxx22csc(1cot)xxdx222csccotcscxdxxxdx)(cotxd31cotcot.3xxC结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.如cos1sinxdxx若用万能代换，则222cos121sin(1)(1)xtdxdtxtt化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单cos1sinxdxx1(1sin)1sindxxln(1sin)xC基本思路2.简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例13.求.21d3xx解:令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC例14.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,,6tx则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnC令例15.求.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC例16.求积分.3121xdxxx解：先对分母进行有理化原式(3121)(3121)(3121)xxxdxxxxx(3121)xxdx131(31)3xdx121(21)2xdx332221(31)(21).93xxC内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121