4.单位荷载法-2

第四章静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures（1）刚体系的虚位移原理去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。P0AX2/PYB2/PYAΔ2Δ3Δ/2023222PPP原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi（2）变形体的虚功原理δWi的计算:δWi=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成:（3）变形体虚功方程的展开式MdMMNdNNQdQQqds微段剪切ds微段拉伸dsds微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:δWe=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。§4.3荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法kiP1P求k点竖向位移.由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)δWe=δWiδWe=PΔiPδWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]dsΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds适用于各种杆件体系(线性,非线性).§4.3荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法kiP1P求k点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds----适用于各种杆件体系(线性,非线性).对于由线弹性直杆组成的结构，有：EIMGAQkEANPPPPPP,,dsEIMMGAQkQEANNiPPPip][ii适用于线弹性直杆体系,qPQPM1PiQiMxldsEIMMGAQkQEANNiPPPip][ii例1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.0)(,0)(xNxNPi)()(,1)(xlqxQxQPi1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql]2)()([03)(8242EIqlGAqkl)(5.2/,10/1/,5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?例2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示RddsNPNQPQRMPRMiPiPiPsin,sincos,cossin,sinP=1RθPRθPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPip][ii)(4443EIPRGAkPREAPR)(5.2/,10/1/,5/6,12/,3钢砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3设12001MN4001MQ小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响可略去不计§4.3荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法1.梁与刚架二.位移计算公式dsEIMMiPip2.桁架dsEANNiPipEAlNNiP3.组合结构EIlNNdsEIMMiPiPip4.拱dsEANNEIMMiPiPip][这些公式的适用条件是什么?解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21(2]222)1)(()1)([(1EAPaaPaPaPEA练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221(]2)2)(2(1[1EAPaaPaPEA例:1)求A点水平位移§4.3荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法二.位移计算公式所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1PBA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。