函数定义域经典例题

定义域的求法：已知f(x)定义域为A，求f(φ(x))定义域，应使φ(x)∈A；已知f(φ(x))定义域为A，求f(x)定义域，即求当x∈A时，φ(x)的值域．如：已知()fx的定义域求[()]fgx的定义域或已知[()]fgx的定义域求()fx的定义域或已知函数)(xgf的定义域求函数)(xhf的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知()fx的定义域,ab，其复合函数()fgx的定义域应由()agxb解出。【例1】(1)已知函数fx定义域为[0，1]，求函数22xf的定义域.(2)已知函数fx定义域为[1，3]，求函数xfxfxF2)()(2的定义域.(3)已知函数xxgxxf)(,11)(，求函数)(xgf的定义域.[答案](1)22,22;(2)231xx;(3).,11,0解析：法1：fx的定义域是1xx，所以)(xgf的定义域是使得1)(xg的x的集合，即1x等价于10xx，即10xx且.即函数)(xgf的定义域是.,11,0法2：111)(1)(xxgxgf，要使函数式有意义，必须001xx，解得10xx且，即函数)(xgf的定义域是.,11,0【练习1-1】：已知函数fx定义域为3,2，求下列函数的定义域：（1）)3(xf；（2）)(2xf.[答案]：（1）6,5.（2）3,22,3.【练习1-2】：设y＝f(x)的定义域是[0,2]，求下列函数的定义域．(1)f(x＋3)；(2)f(|2x－1|)；(3)f(x＋a)－f(x－a)(0a≤1)[分析]根据“若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b的解集”来解相应的不等式(或不等式组)．[解析](1)由0≤x＋3≤2得－3≤x≤－1，所以定义域为[－3，－1]．(2)由|2x－1|≤2得－2≤2x－1≤2，∴－12≤x≤32，所以定义域为－12，32.(3)由0≤x＋a≤2，0≤x－a≤2，得：－a≤x≤2－a，a≤x≤2＋a.又∵0a≤1，∴2－a≥a，∴定义域为[a，2－a]．【练习1-3】：已知函数fx定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1)2()23fx；(2)212()1log(2)fxyx。解：（1）由0＜x2＜2，得点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。【例2】已知函数f(2x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域.[解析]：因为函数f(2x+1)的定义域为[1,2]，所以21x.即5123x.所以，函数f(x)的定义域为[3,5].【练习2-1】已知y＝f(x＋1)的定义域为[0,1]．则y＝f(x)的定义域为________．[解析]由题设使y＝f(x＋1)有意义的x允许取值范围是0≤x≤1.∴1≤x＋1≤2∴欲使y＝f(x)有意义，须1≤x≤2.∴此函数的定义域为[1,2].【练习2-2】已知函数f(x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域.[答案]：3,2.【例3】已知函数)1(2xf的定义域为(2,5)，求函数)1(xf的定义域.[解析]：因为函数)1(2xf的定义域为(2,5)，所以2x5,即.24132x所以，函数fx的定义域为（3，24）.所以2413x，即31241x.因此，函数)1(xf的定义域为)31,241(.【练习3-1】若函数)1(xf的定义域为[-2,3]，求)12(xfy的定义域.[答案]：.25,0