2.3解三角形的实际应用举例

§2.3解三角形的实际应用举例1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际应用中的常用术语术语名称仰角与俯角方位角术语意义在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)图形表示术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：术语名称术语意义图形表示坡角坡度坡面与水平面的夹角坡面的垂直高度h和水平宽度l的比设坡角为α，坡度为i，则i＝hl＝tanα例1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.ABC你能根据所学知识设计一种测量方案吗?应用一：测量距离问题解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离约为65.7米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABC变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCCDABCD解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.sin()sin()sin()sin180()sinsinsin()sin180()aaACaaBC计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC在∆ADC和∆BDC中，应用正弦定理得βγδα.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA两点的距离，求，，千米，定的距离，在河的这边测两点间、如图，为了测量河对岸课堂练习：ABCD30°45°30°60°分析：1.在△ACD中求DA2.在△BCD中求DB46AB变式练习：[训练]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.故当t＝13时，smin＝103，此时v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。解斜三角形应用题的一般步骤是：解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法实际问题抽象概括画示意图建立数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解检验作答还原说明练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。CAB222222cos1.951.4021.951.40cos66203.5711.89(m)BCABACABACABC应用二：测量高度问题（1）底部不可以到达3,..ABBAAB例、是底部不可到达的一个建筑物为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,,,HGHGB解：选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,,,HGCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是，，测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a在中，=AB=AE+h=ACsin+hsinsin=.sin()ah（2）底部可以到达).1(,3.27'.150,'4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例应用二：测量高度问题00C,90,.ABCBAD解：在AB中，BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦定理，AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsinBADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代人，CD（150.答：山的高度约为米例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。000,,7567.5,,3254.0.,,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图一艘海轮从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从出发到达此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离角度精确到距离精确到应用三：测量角度问题220ACABBC2ABBCcos=67.554267.554cos137=113.15ABC22根据余弦定理可知：=BCsinACCABABC根据正弦定理可知：sin0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC000197556CABCAB答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行113.15nmile.0000ABCABC=1807532137解：在中，△1、解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。