角平分线定理、垂直平分线定理

要点、考点聚焦1.角平分线的性质定理和逆定理(1)点在角平分线上点到这个角的两边的距离相等.(2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-1所示.性质定理：∵P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上.判定定理性质定理(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合.(4)互逆命题与互逆定理.2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理(1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.(2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-2所示.要点、考点聚焦性质定理：∵PC是线段AB的中垂线∴PA=PB逆定理：∵PA=PB∴点P在AB的中垂线上.【注意】这里不可说PC是AB的中垂线.(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.要点、考点聚焦2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．1处B.2处C.3处D.4处课前热身CD1.下列说法正确的是()A.每个命题都有逆命题B.直角都是邻补角C.若1/a=1/b则a=b.D.真命题的逆命题是真命题.图4-4-33.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：(1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是()A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.全对.A课前热身4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=()A.6B.8C.5D.10C课前热身5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B=.36°课前热身典型例题解析AB+AD=BC【例1】如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想需用题中所有的条件)【例2】(2003·河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.典型例题解析【例3】(2003·浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是()A.AB和BC，焊接点BB.AB和AC，焊接点AC.AD和BC，焊接点DD.AB和AD，焊接点AC典型例题解析【例4】(2003·黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC).(1)若BD·CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2)所示).(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.典型例题解析图4-4-10(1)图4-4-10(2)图4-4-10(3)1.全等运用的干扰角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍.2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一条直线”，还要再找出一个这样的点.1.(2004·四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP'，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号。①∠OCP=∠OCP';②∠OPC=∠OP'C;③PC=PC';④PP'⊥OC课时训练①或②或④2.(2004·河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是()A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋B课时训练3.(2004·广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE。请写出正确结论的序号。①②④课时训练4.(2004·呼和浩特)如图，在△ABC中，BA=BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：课时训练DC21AD证：连接BD。∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。∵AB=BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝30°,∴∠A＝∠ABD＝30°,∴∠DBC＝90°,∵Rt△DBC中,有∴DC21DBDC21AD