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北师大版九年级上册期末总复习典型题CONTENT目录第一章特殊的平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊的平行四边形┃知识归纳┃1．菱形的定义和性质(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①菱形的四条边都___________；②菱形的对角线互相______________，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴．相等垂直平分[注意]菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质．2．菱形的判定方法(1)有一组邻边相等的______________是菱形；(2)对角线互相垂直的______________是菱形；(3)四边相等的_____________是菱形．平行四边形平行四边形四边形[辨析]四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1：3．菱形的面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半．4．矩形的性质(1)矩形的对边_______________；(2)矩形的对角___________；(3)矩形的对角线____________、__________；(4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)；(5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的_________三角形；(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_____条，对称中心是对角线的交点．平行且相等相等互相平分相等等腰两(7)矩形的面积等于两邻边的_________．乘积[注意]利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的__________．一半5．矩形的判定(1)有一个角是直角的_____________是矩形；(2)有三个角是直角的___________是矩形；(3)对角线相等的______________是矩形．平行四边形四边形平行四边形6．正方形的性质(1)正方形的对边_________；(2)正方形的四边_________；(3)正方形的四个角都是________；(4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有________条，对称中心是对角线的交点．平行相等直角四7．正方形的判定(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；(2)有一组邻边相等的________是正方形；(3)有一个角是直角的________是正方形．矩形菱形[注意]矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形．8．中点四边形中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：(1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是____________(2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是________．(3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是________．(4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__________．(5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是________．平行四边形菱形矩形正方形菱形[总结]顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是________；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是________．菱形矩形►考点一菱形的性质和判定┃考点攻略┃例1如图S1－2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四边形AEOF是菱形．[解析]由点E，F分别为边AB，AD的中点，可知OE∥AD，OF∥AB，而AE＝AF，故四边形AEOF是菱形．证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴AE＝12AB，AF＝12AD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AF.又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线，∴OE∥AD，OF∥AB，即四边形AEOF是平行四边形．又∵AE＝AF，∴四边形AEOF是菱形．L方法技巧在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.►考点二和矩形有关的折叠计算问题例2如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处．已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．[解析]要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可．解：由已知，得EF＝DE＝5cm，由勾股定理，得CF＝52－32＝4(cm)，设BF＝x，则AF＝AD＝BC＝x＋4，在Rt△ABF中，由勾股定理，得82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，所以阴影部分的面积为12×6×8＋12×4×3＝30(cm2)．方法技巧矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来►考点三和正方形有关的探索性问题例3如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，CE＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值．[解析]连接AP，AE，由正方形关于对角线对称将PC转移到PA，要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值，易知当P在AE上时，PA＋PE最小．解：连接AP，AE，如图S1－5.∵正方形ABCD关于BD对称，∴PA＝PC.在△PAE中，PA＋PE＞AE，当P在AE上时，PA＋PE最小，且等于AE.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝52＋32＝34，∴PA＋PE的最小值为34.即PE与PC的长度和的最小值为34.方法技巧正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.第二章一元二次方程┃知识归纳┃1．一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．[注意]定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．ax2＋bx＋c＝02．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为、和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．3．直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝；当b＜0时，方程没有实数根．二次项一次项－a±b4．配方法(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；③配方，方程两边同时加上，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．一次项系数一半的平方5．公式法(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝_______________________________________.(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a，b，c的值；③求b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．－b±b2－4ac2a6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程变形为右边是0的形式；(2)将方程左边分解因式；(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．7．一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当Δ＝b2－4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac0时，方程没有实数根．反之，结论也成立．8．一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.9．列方程解应用题的一般步骤(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．►考点一用配方法解方程┃考点攻略┃例1用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.[解析]用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．解：把方程的各项都除以3，得x2＋43x－43＝0，即x2＋43x＝43.配方，得x2＋43x＋232＝43＋232，即x＋232＝169.解这个方程，得x＋23＝±43，即x1＝23，x2＝－2.►考点二用分解因式法解方程例2用分解因式法解方程：(x－3)2＋3－x＝0.[解析]经过变形后可用提取公因式法分解因式．解：原方程变形为(x－3)2－(x－3)＝0，(x－3)(x－3－1)＝0，即(x－3)(x－4)＝0，x－3＝0或x－4＝0，∴x1＝3，x2＝4.方法技巧当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以利用因式分解法解一元二次方程．用式子表示：若a·b＝0，则a＝0或b＝0，反之也成立．有时遇到解高次方程时，也可以利用这种方式降次．如x4－16＝0，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝0，其左边是三个因式，其中有一个二次的因式，其余两个是一次的因式．分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想．►考点三用公式法解方程例3用公式法解方程：x2＋x－1＝0.[解析]用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．解：a＝1，b＝1，c＝－1，b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±52×1.∴x1＝－1＋52，x2＝－1－52.方法技巧根据公式法，我们可以利用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况：当b2－4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．反之，知道一元二次方程根的情况，也可以判断b2－4ac的符号．►考点四增长率问题例4某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？[解析]增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以每轮感染中平均