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二次函数的基础知识[来源:学科网ZXXK]★★★★★○○○○○二次函数的定义二次函数一般地，我们把形如错误!未找到引用源。（其中a，b，c是常数，错误!未找到引用源。）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2．二次函数的主要特点“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”．“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值．在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同．从函数的定义也可看出二者的差别．如同函数不等于函数关系．二次函数图像与X轴交点的情况当错误!未找到引用源。时，函数图像与x轴有两个交点．当错误!未找到引用源。时，函数图像与x轴只有一个交点．当错误!未找到引用源。时，函数图像与x轴没有交点．二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数错误!未找到引用源。的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线．如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的．注意：函数图象要有：1．本身图像，旁边注明函数．2．画出对称轴，并注明直线X=什么（错误!未找到引用源。）.3．与X轴交点坐标（x₁，y₁)；(x₂，y₂)，与Y轴交点坐标(0，c)，顶点坐标(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。)．轴对称二次函数图像是轴对称图形．对称轴为直线错误!未找到引用源。.对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P．特别地，当错误!未找到引用源。时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线错误!未找到引用源。）．a，b同号，对称轴在y轴左侧．a，b异号，对称轴在y轴右侧．顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h，k)即(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。)．当错误!未找到引用源。时，P在y轴上；当错误!未找到引用源。时，P在x轴上．即可表示为顶点式错误!未找到引用源。．h=错误!未找到引用源。，k=错误!未找到引用源。．开口方向和大小二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当错误!未找到引用源。时，抛物线向上开口；当错误!未找到引用源。时，抛物线向下开口．|a|越大，则二次函数图像的开口越小．决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当错误!未找到引用源。，与b同号时（即错误!未找到引用源。），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。要大于0，所以a、b要同号.当错误!未找到引用源。，与b异号时（即错误!未找到引用源。），对称轴在y轴右．因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。要小于0，所以a、b要异号.可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即错误!未找到引用源。），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即错误!未找到引用源。），对称轴在y轴右．事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值．可通过对二次函数求导得到．决定与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点．二次函数图像与y轴交于（0，C）.注意：顶点坐标为（h，k)，与y轴交于（0，C)．与x轴交点个数错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。时，二次函数图像与x轴有2个交点．错误!未找到引用源。时，二次函数图像与x轴只有1个交点．错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时，二次函数图像与X轴无交点．当错误!未找到引用源。时，函数在错误!未找到引用源。处取得最小值错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。范围内是减函数，在错误!未找到引用源。范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。时，函数在错误!未找到引用源。处取得最大值错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。范围内是增函数，在错误!未找到引用源。范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数.二次函数的性质定义域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：当错误!未找到引用源。时为偶函数，当错误!未找到引用源。时为非奇非偶函数．周期性：无解析式：二次函数的一般式错误!未找到引用源。⑴错误!未找到引用源。⑵a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）；⑷错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，图象与x轴交于两点：（错误!未找到引用源。，0）和（错误!未找到引用源。，0）；错误!未找到引用源。，图象与x轴交于一点：（错误!未找到引用源。，0）；错误!未找到引用源。，图象与x轴无交点；特殊地，错误!未找到引用源。，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；错误!未找到引用源。，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形．二次函数顶点式错误!未找到引用源。此时，对应极值点为（h，k），其中h=错误!未找到引用源。，k=错误!未找到引用源。二次函数交点式（双根式）y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0）对称轴X=(X₁+X₂)/2．当a0且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≤（X₁+X₂）/2时Y随X的增大而减小此时，x₁、x₂即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）．交点式是Y=A(X-X₁)(X-X₂)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式．两交点X值就是相应X₁，X₂值．增减性当错误!未找到引用源。且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减．当错误!未找到引用源。且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大．最值当错误!未找到引用源。时，函数有最小值错误!未找到引用源。．当错误!未找到引用源。时，函数有最大值错误!未找到引用源。．二次函数一般式错误!未找到引用源。(a≠0，a、b、c为常数)，顶点坐标为[错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。]把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值．二次函数顶点式错误!未找到引用源。(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k），对称轴为错误!未找到引用源。，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数错误!未找到引用源。的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式．例：已知二次函数y的顶点(1，2)和另一任意点(3，10)，求y的解析式．解：设错误!未找到引用源。，把（3，10）代入上式，解得错误!未找到引用源。．二次函数交点式（两根式）错误!未找到引用源。(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A（错误!未找到引用源。，0）和B（错误!未找到引用源。，0）的抛物线，即错误!未找到引用源。]．已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和B（x₂，0），我们可设错误!未找到引用源。，然后把第三点代入x、y中便可求出a．二次函数与一元二次方程的关系特别地，二次函数（以下称函数）错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即错误!未找到引用源。此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根．函数与x轴交点的横坐标即为方程的根．1．二次函数错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(各式中，错误!未找到引用源。)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴错误!未找到引用源。(0，0)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(0，K)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(h，0)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(h，k)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。)错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的图象可由抛物线错误!未找到引用源。向右平行移动h个单位得到，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的图象可由抛物线错误!未找到引用源。向左平行移动|h|个单位得到．当错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时，将抛物线错误!未找到引用源。向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）的图象当错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时，将抛物线错误!未找到引用源。向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）的图象当错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时，将抛物线错误!未找到引用源。向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）的图象[来源:学科网ZXXK]当错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时，将抛物线错误!未找到引用源。向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）的图象在向上或向下．向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”．因此，研究抛物线错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的图象，通过配方，将一般式化为错误!未找到引用源。的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的图象：当错误!未找到引用源。时，开口向上，当错误!未找到引用源。时开口向下，对称轴是直线错误!未找到引用源。，顶点坐标是(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。)．3．抛物线错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)，若错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，y随x的增大而减小；当错误!未找到引用源。时，y随x的增大而增大．若错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，y随x的增大而增大；当错误!未找到引用源。时，y随x的增大而减小．4．抛物线错误!未找到引用源。的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当错误!未找到引用源。，图象与x轴交于两点A(错误!未找到引用源。，0)和B(错误!未找到引用源。，0)，其中的错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是一元二次方程错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的两根．这两点间的距离AB=|错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。|=错误!未找到引用源。（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×错误!未找到引用源。－A|（A为其中一点的横坐标）当错误!未找到引用源。．图象与x轴只有一个交点；当错误!未找到引用源。．图象与x轴没有交点．当错误!未找到引用源。时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有错误!未找到引用源。；当错误!未找到引用源。时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有错误!未找到引用源。．5．抛物线错误!未找到引用源。的最值：如果错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)，则当错误!未找到引用源。时，y最小(大)值错误!未找到引用源。．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：错