考点16 正、余弦定理及解三角形

考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1．正弦定理在ABC△中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabc==ABC.正弦定理对任意三角形都成立．2．常见变形（1）sinsinsin,,,sinsin,sinsin,sinsin;sinsinsinAaCcBbaBbAaCcAbCcBBbAaCc（2）;sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabacbcabcABCABACBCABC（3）::sin:sin:sin;abcABC（4）正弦定理的推广：===2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC△的外接圆的半径.3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在ABC△中，已知a，b和A时，三角形解的情况二、余弦定理1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos,2cos2cos.abcbcAbacacBcababC，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos,cos,cos222bcacababcABCbccaab.3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12Sah(h为BC边上的高)；（2）111sinsinsin222SbcAacBabC；（3）1()2Srabc(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC△中，π ABC，其变式有：πABC，π222ABC等．（2）三角形中的三角函数关系：iin(sns)ABC；()soscocABC；sincos22ABC；cossin22ABC.典例1在ABC△中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A．1B．33C．55D．77【答案】D又，由余弦定理可得，即，所以.故选D．典例2已知ABC△的内角的对边分别为,且.(1)求；(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】(1)因为,所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即2522sin22B，解得.从而25cos5B.设的中垂线交于点,因为在RtBDE△中,，所以15cos2255BEBDB，因为为线段的中垂线，所以.1．在ABC△中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且2sinsincossincosCBaBBbA，则A=A．π6B．π4C．π3D．2π32．在ABC△中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πABC这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC△中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，满足3coscossinsincos2ACACB，且,,abc成等比数列.（1）求角B的大小；（2）若2,2tantantanacbaACB,试判断三角形的形状.【解析】（1）已知3coscossinsincos2ACACB,∵coscosBAC，32sinsin2AC,又22sinsinsinbacBAC,232sin2B，即3sin2B，而,,abc成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以60B.（2）由2tantantanacbACB,得coscos2cossinsinsinaAcCbBACB,利用正弦定理可得coscos2cos1ACB,又因为2π3AC,所以π3AC,所以ABC△是等边三角形.3．在ABC△中，，，分别为角，，所对的边，若，则ABC△A．一定是锐角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是斜三角形D．一定是直角三角形考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4在ABC△中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求ABC△面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5在ABC△中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求ABC△周长的取值范围.【解析】（1）在ADC△中，AD＝1，，所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,所以cos∠DAC＝.由余弦定理得2222cosCDACADACADDAC＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD＝.（2）在ABC△中，由正弦定理得2342πsinsinsinsin3ABBCACCAB，，ππ30,sin,1332AA.，故ABC△周长的取值范围为.4．在ABC△中，内角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）当时，求的取值范围．5．在ABC△中，内角，，所对的边分别为，，，且ABC△的面积.（1）求；（2）若、、成等差数列，ABC△的面积为，求.考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6如图，在ABC△中，D为AB边上一点，且DADC，已知π4B，1BC.（1）若ABC△是锐角三角形，63DC，求角A的大小；（2）若BCD△的面积为16，求AB的长.【解析】（1）在BCD△中，π4B，1BC，63DC，由正弦定理得sinsinBCCDBDCB，解得2132sin263BDC，所以π3BDC或2π3.因为ABC△是锐角三角形，所以2π3BDC.又DADC，所以π3A.（2）由题意可得1π1sin246BCDSBCBD△，解得23BD，由余弦定理得222π2cos4CDBCBDBCBD22251219329，解得53CD，则523ABADBDCDBD.所以AB的长为523.6．如图，在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sincos)abCC.（1）求角B的大小；（2）若π2A，D为ABC△外一点，2DB，1DC，求四边形ABCD面积的最大值.考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东1515BAC方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60方向上，此时测得山顶P的仰角为60，若山高为23千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP△中，tan2PCPBCBCBC，在ABC△中，由正弦定理得2sinsinsin15sin45BCABABBACBCA，所以231AB，故船的航行速度是每小时631千米.（2）在BCD△中，由余弦定理得6CD，在BCD△中，由正弦定理得2sinsinsin2CDBCCDBDBCCDB,所以山顶位于D处南偏东45方向.7．某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为：29米AB29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点,CD，测得60BDC，75BCD，40CD米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且1CE米，则发射塔高ABA．2021米B．2061米C．4021米D．4061米考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,ababab”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC△中，已知π6C，向量(s