垂直平分线定义性质及判定

学习目标：1.垂直平分线的定义2.垂直平分线的性质3.垂直平分线的判定垂直平分线MN⊥AA’于PAP=A’P1、图中的对称点有哪些？2、线段AA’、BB’、CC’与直线MN有什么样的关系？图中的两个三角形关于直线MN对称直线MN垂直且平分这三条线段MNABCA’C’B’PQG定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．对应点的连线被对称轴垂直平分。下面我们来探究线段垂直平分线的性质P3ABlP2P1l是AB的垂直平分线，观察P1A和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之间的关系？BACPl求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等能不能写出已知求证并证明呢？已知：直线m是线段AB的垂直平分线，P为直线m上的任意一点；求证：PA=PB.证明：通过证明两个三角形全等．∵m是AB的垂直平分线，P在m上∴PO⊥AB,AO=BO∴∠AOP=∠BOP=90°在△APO和△BPO中，∴△APO≌△BPO(SAS)∴PA=PB.PO=PO∠AOP=∠BOPAO=BO结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABPmO1、因为AD为BC的中垂线，所以。理由：AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．BCAD2、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线ABMND①②③如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。DCBEA解：∵ED是线段AB的垂直平分线∴∵△BCD的周长=BD+DC+BC∴△BCD的周长===BD=ADAD+DC+BCAC+BC12+7=19P29页3题2、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC10cm3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。AEDBC36°思考反过来:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上吗?ABP已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上..C性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（判定）ABPC线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（性质）点到线段两个端点距离相等这个点在这条线段的垂直平分线上P33页21题习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ADBEC证明：∵AD⊥BCBD=DC∴AD在线段BC的垂直平分线上∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE又AB=AC∴AB=CE又BD=CD∴AB+BD=CE+CD=DE不折叠图形如何准确地得出它的对称轴呢？思考AA'现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？B'C'A'FEDACBP29、30：4、5题高速公路AB在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学LP30：7题7、如图，已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等。·某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学P33：23、24题作图题：P33：23、24题23、如图，A、B、C三点表示三个小区，为了解决居民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个校区距离相等，请你在图中确定学校的位置。24、如图，AO、OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一老鼠洞，一只猫在A处发现B处的一只老鼠正向洞口O处逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕这只老鼠，请在图中作出猫最快能截住老鼠的位置C。（保留作图痕迹，不写作法）练一练：P30：1题、P31页5题【课堂检测】1、给出以下四个结论，其中正确的有（）①如果两条线段互相垂直且平分，那么这两条线段互为对称轴②若两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等③线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等④若P为∠AOB平分线上的点，C、D分别是边OA与OB上的点，则PC=PDA、①②B、②③C、③④D、①④5、下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（）AMA=MB，NA=NBBMA=MB，MN⊥ABCMA=NA，MB=NBDMA=MB，MN平分∠AMBP31、32：11、13、19题11、如图，在△ABC中，BC=8，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，则△ADE的周长等于_____。13、如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20，AE=5，则△ABC的周长是_______。19、如图，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，那么点E、F是否关于AD对称？若对称，请说明理由。P32、33：20、22题20、如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长。22、在△ABC中，∠BAC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、AC，△AEF的周长为10cm，求∠EAF的度数及BC的长。作图题：P30：8、9题8、如图，已知直线MN、与同侧的两点A、B,在MN上求一点P，使PA+PB最小。9、如图，已知直线MN、与MN异侧的两点A、B，在MN上求一点P，使PA－PB最大。