距离的计算

§6距离的计算空间两点间的距离公式;)()()(||),,,(),,,(A212212212222111zzyyxxABABABzyxBzyx则已知在空间直角坐标系中，或dA,B＝2)12(2)12(2)12(zzyyxx练习1、求下列两点间的距离：（1）A＝(1,1,0),B＝(1,1,1);（2）C＝(－3,1,5),D＝(0,－2,3);122点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内点到直线的距离问题。lPAsA.,外一定点是直线的直线平行于向量是过点设lAsPl,,AAlAAldAA设垂足为则点到直线的距离等于线段。lPAsA,||0的长度等于线段上的投影的大小在而向量APsPAsPA202||||sPAPAd的距离到直线所以根据勾股定理有点lＡ空间一点A到直线l的距离的算法框图如下在直线l上任取一点P确定直线l的方向向量s计算向量PA计算向量PA在向量s上的投影PAs计算点A到直线l的距离dABCDOxyzA1B1C1D1例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1，BC=2，AA1=3，求点B到直线A1C的距离。解：因为AB=1，BC=2，AA1=3所以A1(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0)ABCDOxyzA1B1C1D1;144||)4(111CACABCCABC上的投影在求);0,2,0()0,2,1()0,0,1()3(1BCCCAB的向量上一点直线到求点);0,2,1()2(1CCA上一点找到直线);3,2,1()1(11CACA的方向向量计算直线21121||||||)5(CACABCBCdCAB的距离到直线求点ABCDOxyzA1B1C1D17352141642357。练习2、已知点A(1,-1,2),直线l过原点O，且平行于向量(0,2,1).求点A到直线l的距离d.606||||||)1,2,0()2,1,1(22ssOAOAdsOA点到平面的距离设是过点P垂直于向量n的平面,A是平面外一定点.APA1n设AA1⊥,垂足为A1,则点A到平面的距离d等于AA1的长度,APA1n的距离到平面所以点Ａ.0nPAd,||10的长度等于线段上的投影的大小在而向量AAnPAnPA空间一点A到平面的距离的算法框图如下在平面上任取一点P找到平面的法向量n计算向量PA计算向量PA在向量n上的投影PAn0计算点A到平面的距离d例2、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)证明AC1是平面A1BD的法向量；(2)求点C1到平面A1BD的距离.ABCDOxyzA1B1C1D1解：据题意有A1(0,0,1),B(1,0,0)D(0,1,0),C1(1,1,1)ABCDOxyzA1B1C1D1;,1111的法向量是平面即平面所以BDAACBDAAC,,1111DAACBAAC从而,0)1,1,0()1,1,1(,0)1,0,1()1,1,1(1111DAACBAAC所以)1,1,0(),1,0,1(),1,1,1()1(111DABAAC因为ABCDOxyzA1B1C1D133232||||11111ACACBCBDAC的距离为到平面所以点),1,1,0()2(1BC因为练习3、已知点M(-1,2,3),平面经过点A(1,2,0),B(-2,0,1),C(0,2,2).求点M到平面的距离。)3,0,2(),2,5,4(),2,0,1(),1,2,3(MAnACAB的一个法向量为得到平面.1552452||||nnMA求点M到平面的距离lPAsA的距离到直线点lＡ202||||sPAPAdAPA1n的距离到平面点Ａ.0nPAd