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☆星火益佰☆精品课件第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及其基本运算基础知识自主学习要点梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、、．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为、、．确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法区间法有限集无限集空集2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则(或)．∅A；AA；A⊆B，B⊆C⇒AC.若A中含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个，A的非空真子集有个．(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则.ABBA⊆⊆⊆2n2n－12n－2A＝B3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝；补集：∁UA＝．U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.基础自测1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________.解析∁UB＝{2,4,6}，A∩(∁UB)＝{2,4}．{2,4}2．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解析因为A∩B＝{3}，当a2＋4＝3时，a2＝－1无意义．当a＋2＝3，即a＝1时，B＝{3,5}，此时A∩B＝{3}．故a＝1.13．已知集合A＝{－1，0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是.解析由题可知集合B＝{0,1,2,3}，阴影部分表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合，则阴影部分表示的集合为{－1,4}．点评从图形中读懂集合间的关系是解决本题的关键．{4，－1}4．已知集合A＝(－∞，0]，B＝{1,3，a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是______．a≤0题型分类深度剖析题型一集合的基本概念例1定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．思维启迪集合A⊙B的元素：z＝xy(x＋y)．求出z的所有值，再求其和．解析这里给出了一个新的符号A⊙B，实质上它就是一个集合，其中的元素z＝xy(x＋y)，其中x∈A＝{0,1}，y∈B＝{2,3}．可利用集合描述法中元素z的性质，简单的分类讨论，求出z的所有可能的取值即可求得答案．当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故集合A⊙B中的元素有如下3个：0,6,12.所有元素之和为18.答案18探究提高理解集合和集合元素的特征属性，是解决本题的关键．在确定z的值时，要根据x，y的不同取值分类讨论，体现了分类讨论的思想方法．变式训练1设a，b∈R，集合a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2011＋b2012的值为________．解析由于a≠0，则ba＝0，∴b＝0.∴a2＝1，又a≠1，∴a＝－1.故a2011＋b2012＝－1.－1题型二集合与集合的基本关系例2已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝x|－12x≤2.(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．思维启迪在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论．利用数轴分析，使问题得到解决．解A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a＝0，则A＝R；②若a0，则A＝x|4a≤x－1a；③若a0，则A＝x|－1ax≤4a.(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．当a0时，若A⊆B，如图，则4a－12－1a≤2，∴a－8a≤－12，∴a－8.当a0时，若A⊆B，如图，则－1a≥－124a≤2，∴a≥2a≥2.∴a≥2.综上知，当A⊆B时，a－8或a≥2.(2)当a＝0时，显然B⊆A；当a0时，若B⊆A，如图，则4a≤－12－1a2，∴a≥－8a－12.∴－12a0；当a0时，若B⊆A，如图，则－1a≤－124a≥2，∴a≤2a≤2.∴0a≤2.综上知，当B⊆A时，－12a≤2.(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时，A＝B.由(1)、(2)知，a＝2.探究提高在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．变式训练2设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，(1)若B⊆A，求a的值；(2)若A⊆B，求a的值．解(1)A＝{0，－4}，①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)0，解得a－1；②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；③当B＝A时，由根与系数的关系得：－2a＋1＝－4a2－1＝0，解得a＝1.综上可知：a≤－1或a＝1.(2)若A⊆B，必有A＝B，由(1)知a＝1.题型三集合的基本运算例3若集合A＝{x|x2－2x－80}，B＝{x|x－m0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．思维启迪(1)分别求出集合A、B，利用数轴分析．(2)A∩B＝A转化为A⊆B.解(1)由x2－2x－80，得－2x4，∴A＝{x|－2x4}．当m＝3时，由x－m0，得x3，∴B＝{x|x3}，∴U＝A∪B＝{x|x4}，∁UB＝{x|3≤x4}．∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x4}．(2)∵A＝{x|－2x4}，B＝{x|xm}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2x4}，B＝{x|xm}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.探究提高集合的基本运算包括交集、并集和补集．在解题时要注意借助数轴或Venn图进行分析，并注意运用补集的思想方法．变式训练3(2010·重庆)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.－3易错警示1．忽略空集致误试题：(5分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为____．学生答案展示审题视角(1)从集合的关系看，B⊆A，则B＝∅或B≠∅.(2)从集合的元素看，B≠∅时，B中的元素为－1a，－1a必是A的元素，即－1a＝1或－1a＝－1.｛-1，1｝解析当a＝0时，B＝∅⊆A，符合要求．当a≠0时，B＝－1a⊆A.∴－1a＝1或－1a＝－1，即a＝－1或a＝1.∴实数a的所有可能取值的集合为{－1,0,1}．正确答案{－1,0,1}批阅笔记本题考查的重点是集合的关系以及集合元素的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易忽略集合B为∅的情况；二是忽视对B中的元素－1a的值为1或－1的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分类讨论，避免误解．思想方法感悟提高方法与技巧1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．返回