2.3傅里叶全息图

2.3傅里叶变换全息图•物体的信息由物光波所携带，全息记录了物光波，也就记录下了物体所包含的信息。物体信号可以在空域中表示，也可以在频域中表示，也就是说，物体或图像的光信息既表现在它的物体光波中，也蕴含在它的空间频谱内。因此，用全息方法既可以在空域中记录物光波，也可以在频域中记录物频谱。物体或图像频谱的全息记录，称为傅里叶变换全息图。•傅里叶变换全息图不是记录物体光波本身，而是记录物体光波的傅里叶频谱．利用透镜的傅里叶变换性质，将物体置于透镜的前焦面，在照明光源的共扼像面位置就得到物光波的傅里叶频谱，再引人参考光与之干涉．通过干涉条纹的振幅和相位调制，在干涉图样中就记录了物光波傅里叶变换光场的全部信息，包括博里叶变换的振幅和相位。这种干涉图称为博里叶变换全息图。1．记录原理：•记录光路如图2.3.1示。物O（x，y）置于透镜前焦面，用平行光照明。这里的物一般以平面透明片为宜。在透镜L后焦面上得到它的傅里叶频谱。将全息干板置于后焦面上，用斜入射的平行光作为参考光，记录傅里叶变换全息图。•设物光波为O(xo,yo)=O0(xo,yo)exp[jφo(xo,yo)]，参考光可利用置于前焦面上的点光源产生，设其位置坐标为(-b,0)，数学表述为一个δ函数：R(xo,yo)=R0δ(xo+b,yo)(1)•经透镜变换后到达干板处的光振动是它们的傅里叶频谱之和：•(2)]2[expdd])(2[exp),(,,ooooooobfjRyxyfxfj-yxOffffROUxyxyxyxHROFF其中O表示O的傅里叶变换，R表示R的傅里叶变换，fx=x/λf，fy=y/λf为空间频率分量，其中x﹑y为透镜后焦面的空间坐标，f为透镜焦距。•曝光光强为I（fx，fy）=（O+R）·（O+R）*=|O（fx，fy）|2+Ro2+RoO（fx，fy）exp[-j2πfxb]（3）+RoO*（fx，fy）exp[j2πfxb]•经线性处理后，全息图的透射率正比于I。将式（2）、（3）代入并作整理，省略常系数，得到全息图透射率：•（4）ooooyoxooo-o2o2yxyxHydxd-yfbxf2cosy,xOR2R|,ff|,fftO由式（4）明显看出傅里叶全息图有两大特点，一是它所记录的确是物的频谱，二是全息图的条纹结构有序，呈多族余弦光栅按一定规律线性重叠而成2．再现原理•用平行光垂直入射到全息图上，数学表述为：C(x,y)=Coexp(jφc)=1•全息图后的光振幅为UH’=C·tH≈tH=|O|2+Ro2+RoO（fx，fy）exp[-j2πfxb]+RoO*（fx，fy）exp[j2πfxb]（5）分析式（5）可知，第三项包含着物的频谱，第四项是共轭频谱，由于该两项的附加位相exp[-j2πfxb]和exp[j2πfxb]只在指数上差一个符号，所以他们必然对称分布于零级两侧，倾角分别为θx=±sin-1(b/f)•为获得物的再现像，必须将全息图置于透镜前焦面上，后焦面得到它的傅里叶变换。当取反射坐标时，得到的是逆变换：Uf=F–1{UH’}（6）将式（5）代入式（6），得到四项：第一项：Uf1=F–1{|O（fx，fy）|2}=F–1{O（fx，fy）·O*（fx，fy）}=O(xo',yo')*O*(-xo',-yo')=O(xo',yo')★O(xo',yo')（7）这一项是物函数的自相关(★)，因频率较低，故分布于原点附近。•第二项：Uf2=F–1{R02}，是δ函数，形成焦点处的亮点，称为零级。•第三项：Uf3=F–1{R0O(fx,fy)exp(-j2πfxb)}yxoyoxyxoyxoyoxxyxodfdfyfbxfjffRdfdfyfxfjbfjffR')'(2exp,''2exp2-exp,OO•因此第三项代表物的原始像，中心位置在(b,0)处，是一倒立实像。•第四项：Uf4=F–1{RoO*(fx,fy)exp(j2πfxb)}=O*(-xo'-b,-yo'),代表物的共轭像，位置在(-b,0)处，是一正立实赝像。得取代将yxoyoxooffyfxfjyxO,dydx2exp,ooOUf3=O(xo'-b,yo')3．傅里叶变换全息图的某些性质特点及应用•（1）衍射像分离的条件：要使再现时各衍射项能分离开，则记录时参考点源位置与物的尺寸要选择合适，一般来说，b必须大于物体尺寸的3/2倍。•（2）记录介质的分辨率：对记录介质分辨率的要求不受物体本身精细结构的影响，而取决于全息图中最精细的光栅结构，因而应该满足，其中R为记录介质分辨率，fxo表示全息图的频谱成分，即全息图干涉条纹的空间频率。•（3）再现像的分辨率：再现像的分辨率取决于全息图的宽度，它所记录的空间频率越丰富（即高频信息越多），分辨率就越高。因而透镜孔径的限制将起很大作用，孔径越大，截止频率越高。最理想的是将物紧靠透镜。•（4）和菲涅耳全息一样，光源尺寸及再现光源线宽都会影响再现像的质量。再现时产生的像的线模糊和色模糊会影响分辨率，因而对记录时点源的尺寸及再现光源线宽要严格限制。•（5）傅里叶全息图所记录的干涉条纹的排列是有序的，所以特别适用于计算全息。•（6）傅里叶全息图记录的是频谱，而不是物本身。对于大部分低频物来说，其频谱都非常集中，直径仅1mm左右，记录时若用细光束作参考光，可使全息图的面积小于2mm2,所以特别适用于高密度全息存储。•（7）傅里叶全息图的光能集中在原点附近，为避免曝光不均匀，在调节光路时可使干板稍稍离焦，以便得到线性处理的全息图。•当物不是处于透镜的前焦面上，后焦面上得到的不再是物光分布的傅里叶变换而是其夫琅和费衍射，两者的区别只差一个位相因子。所以所有记录傅里叶变换全息图的系统只要改变其参考光的波面曲率，所记录的全息图就是夫琅和费全息图无透镜傅里叶变换全息图•无透镜傅里叶变换全息图在记录和再现时都不用透镜1．记录原理•记录光路如图2.3.3所示。用平行光照明物，参考点源置于物平面（-b，0）处（）。根据菲涅耳衍射公式可知，干板处的光振幅由两部分组成：•物光波：yxffyxzkjexp'CyxzkjexpyxOyxzkjexpzjyxU,,F,O（9）•参考光波：•曝光光强：bfjexpyxzkjexpRyxRzxfxx,bfjffRCbfjffRCRU*UyxRyxUyxIxyxxyx2exp,2exp,',,,*0*0202OO（10）•进行线性处理后，透射率tH∝I。由式(10)可以看出，物光波和参考光波中的二次位相因子在曝光光强表达式中相互抵消。这就是可以省去透镜记录傅里叶变换全息图的原因。2．再现原理•全息图用球面波照明，设点源在轴上，与全息图距离zC处。与原始像有关的第三项为：22022003112exp2exp2exp,'yxzzkjyxzkjbfjffRCUCxyxO(11)与式（9）相比较可知，这就是产生原始像的项，所不同的只是增加了两个因子。•一是（-j2πfxb），它代表倾斜因子，表示再现物波的倾斜角为θ=sin-1(b/z0)•二是式中最后一项，它代表一个附加的位相因子，与薄透镜的透射率公式exp[-jk/2f(x2+y2)]相比较，这一附加位相相当于一个焦距为f-1=1/z0-1/zC的薄透镜的作用•z0和zC的关系决定了再现像的大小：•（1）当zC=z0，附加位相为零，可重现物光波，在（b，0）处得到一个原始像，是正立虚像；•（2）当|zC||z0|时，可得到放大虚像；•（3）当|zC||z0|时，可得到缩小虚像。•与共轭像有关的第四项为：220220*0*4112exp2exp2exp,yxzzkjyxzkjbfjffRCUcxyxO(12)与原始像对称的（-b，0）处可得共轭像，是倒立实像。其放大率与原始像的规律相同，取决于zC与z0的关系•如想得到实像，可利用图2.3.5所示的有透镜光路系统实现透镜的作用是对衍射波进行一次傅里叶变换，在后焦面上得到实像，原始像和共轭像对称地位于焦点两侧，前者倒立，后者正立。若透镜焦距为f’，则他们的位置坐标分别为（f’/z0，b）和（-f’/z0，b）•图2.3.3所示的无透镜傅里叶变换全息图记录光路中，如果z0足够大以至满足夫琅和费衍射条件，利用平行光参考光，记录的将是夫琅和费全息图。在傅里叶变换全息图记录光路中（图2.3.1），当物不是处于透镜的前焦面上时，后焦面上得到的不再是物光分布的傅里叶变换而是其夫琅和费衍射，两者的区别只差一个二次位相因子，记录的也是夫琅和费全息图。•所有记录傅里叶变换全息图的系统只要改变其参考光的波面曲率，所记录的全息图都是夫琅和费全息图。和傅里叶变换全息图一样，夫琅和费全息图主要用于高密度信息存储。傅里叶变换全息图的两个特例•1．用空间调制的光波对傅里叶变换全息图实行再现在记录全息图时如用点源作参考光(图2.3.1)，而再现光是一张被平行光照明的透射率为的透明片的频谱，结果可在输出面上得到卷积和自相关运算。光路采用4f系统，如图2.3.6所示。tC置于输入面上，用平行光照明，谱面上得到TC（fx，fy）：TC（fx，fy）=F{tC（xo，yo）}•将傅里叶全息图置于频谱面，中心在原点上，则谱面后得到两者的乘积（参阅式（3））TC（fx，fy）·tH（fx，fy）=TC·[|O|2+R02+R0Oexp（-j2πfxb）+R0O*exp（j2πfxb）]（13）•输出面得到（13）式的逆变换：F-1{TC·tH}=F-1{Tc}*F-1{tH}=tc*F-1{tH}（14）•第一项为U1=O（xo’，yo’）☆O（xo’，yo’）*tc（xo’，yo’）。•该项的自相关有一峰值类似于δ函数，所以卷积结果为tC，是输入的透明片的几何像；•第二项U2=R02·tc，式中R0类是一个常数，因此与上一项一样，是输入的透明片的几何像；•第三项U3=tc（xo’，yo’）*R0O（xo’-b，yo’）是中心在（b，0）位置的tc与O的卷积；•第四项U4=tc（xo’，yo’）*R0O*（-xo’-b，-yo）=tc☆O是中心在（-b，0）处的tc与O的互相关，它呈现为一个模糊斑。•用空间调制的光波再现傅里叶全息图时，可同时实现卷积和互相关操作。我们可以设想，若用原物光作为再现光波，即tc（xo，yo）=O（xo，yo）（15）•在输出面上得到四项：U1和U2将是物的几何像；•U3=R0O（xo’-b，yo’）*O（xo’，yo’），为物的自卷积；•U4=R0O*（-xo’-b，-yo’）*O（xo’，yo’）=R0O☆O，为物的自相关，呈现亮点。•这一特性在光信息处理中将用于特征识别。上述傅里叶全息图实际上正是特征识别的关键器件——匹配滤波器。这种全息图当用物光再现时，得到自相关输出，呈现亮点；而用其它光波再现时，得到互相关，只呈现一个模糊斑，以此来达到识别目标特征的目的2．用空间调制的光波作参考光记录傅里叶变换全息图•在记录时用空间调制的光波作为参考光，即在图2.3.1中用透射率为R（xo，yo）的透明片代替点源，置于（-b，0）处•物波为：O（fx，fy）=F{O（xo，yo）}•参考波为：F{R（xo，yo）}=R(fx，fy)exp（j2πfxb）•曝光后经线性处理，全息图透射率表达为：tH（fx，fy）=[O+Rexp（j2πfxb）]·[O*+R*exp（-j2πfx