2.3函数的极限(2)--点极限

2020/1/302.3函数的极限(2)2020/1/302.3函数的极限(2)0xxfx当时函数的极限点极限就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作lim()xfxa；()fx一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，也可记作:当axfx)(时，当也可记作:axfx)(时，就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作lim()xfxa；当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，()fx一、复习引入：无穷极限的定义:也可记作:当axfx)(时，().limxfxa()limxfx()limxfx如果=a,且=a,那么就说当x趋向于无穷大时,的极限是a,记作()fx可否用类似的思想和方法研究x→x0时的函数极限？()limxfxa()limxfxa()limxfxa且2020/1/30xy111.52.524讨论当x无限趋近于2时,函数的变化趋势.2xy1).x从2的左边(x2)无限趋近于2:…0.000040.00040.0040.040.391.75|y-4|…3.999963.99963.9963.963.612.25…1.999991.99991.9991.991.91.5x2xy从表和图象都可以看出:当自变量x从x轴上表示2的点的左边无限趋近于2时,函数的值,2xy无限趋近于4.o二、讲授新课：1.当x→x0时,函数f(x)的极限:2020/1/30xy242).x从2的右边(x2)无限趋近于2:…0.000040.00040.0040.040.412.25|y-4|…4.000044.00044.0044.044.416.25…2.000012.00012.0012.012.12.5x2xy从表和图象都可以看出:当自变量x从x轴上表示2的点的右边无限趋近于2时,函数的值,2xy无限趋近于4.2.5从上面两种情况来看,当x无限趋近于2时函数2xy的函数值无限趋近于4.因此,称为当x无限趋近于2时,函数的极限为4.2xy记作:4lim22xxo2020/1/30再讨论当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数的变化趋势.211xyx112xxy函数112xxy的定义域不包括1x即112xxy在1x处无定义但x可以从x轴上点x=1的左,右两边无限趋近于1.所以,当x无限趋近于1(但不等于1)时,y的值无限趋近于2.因此,当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数112xxy的极限是2.记作:211lim21xxx21-101xy112xxy即}),1|{(1xxxxy由于2020/1/30定义：当自变量x无限趋近于常数(但不等于)时,0x0x如果函数)(xf无限趋近于一个常数,a就说当x趋近于0x时,函数的极限是)(xf,a记作:,)(lim0axfxx也可记作:.)(0axfxx时，当)(lim0xfxx也叫做函数)(xf在点0xx处的极限.2020/1/30例1、当时,写出下列函数的极限:2x;)1(2xy;sin)2(xy;)3(xy.5)4(y解:.4lim)1(222xx.1sinlim)2(2xx.2lim)3(2xx.55lim2x(4)y=5是常数函数,函数值始终等于常数5.有函数极限的定义,容易得到一般地,设C为常数,则.lim0CCxx2020/1/30例2、写出下列极限的值：;lim)1(5xx;2lim)2(0xx;lim)3(21xx;tanlim)4(4xx;2lim)5(2xx.1)-2(lim)6(22xx2020/1/30对于极限表达式，中的0lim()xxfxa0xx，应怎样理解?应理解为x可以用任何方式无限趋近于0x，其中包括:1）从表示的点的左边无限趋近于；0x0x2）从表示的点的右边无限趋近于；0x0x3）从表示的点的两侧交错地无限趋近于；0x0x总之，不管以哪种方式趋近，只要0xx，就有.)(axf下面讨论函数的“单侧”极限,即自变量x只能从表示的点的一侧0x无限趋近于是函数的极限.0x)(xf2.函数的左右极限:x11-1yO当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于-1；当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于1.由于x从不同方向无限趋近于0时,)(xf所无限趋近的值不同,所以,)(xf在x=0处无极限.即0lim().xfx不存在考察函数，当x无限趋近于0时，1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx函数的变化趋势？)(xfx11-1yO考察函数，当x无限趋近于0时，1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx函数的变化趋势？)(xf考虑到函数1(0),()0(0),1(0).xxfxxxx当时当时当时0lim()xfx不存在.但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数就会无限趋近于一个确定的常数.当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于－1.比如:2020/1/30由此,我们得到单侧极限的定义.一般地,如果当x从点左侧(即)无限趋近于时,0xx0x函数)(xf无限趋近于常数,a0xxa就说是函数0x记作.)(lim0axfxx)(xf在点处的左极限,就说是函数0x记作.)(lim0axfxxa)(xf在点处的右极限,一般地,如果当x从点右侧(即)无限趋近于时,0xx函数)(xf无限趋近于常数,a0xx0x2020/1/30由函数在一点处的左、右极限定义可知,对于函数.)0(1),0(0),0(1)(时当时当时当xxxxxxfy,1)(lim0xfx.1)(lim0xfx根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出0lim()xxfxa00lim()lim()xxxxfxfxax11-1yO