高教版 袁卫 统计学 教学ppt(第七章 方差分析)

第7章方差分析与试验设计7.1方差分析引论7.2单因素方差分析7.3方差分析中的多重比较7.4双因素方差分析7.5试验设计初步学习目标1.理解方差分析的概念2.理解方差分析的基本思想和原理3.掌握单因素方差分析的方法及应用4.理解多重比较的意义5.掌握双因素方差分析的方法及应用6.掌握试验设计的基本原理和方法7.1方差分析引论一、方差分析及其有关术语二、方差分析的基本思想和原理三、方差分析的基本假定四、问题的一般提法一、方差分析及其有关术语1、方差分析(ANOVA)的含义(analysisofvariance)是检验多个总体均值是否相等的统计方法通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量的影响本质是研究分类型自变量对数值型因变量的影响，比如它们之间有没有关系、关系的密切程度如何等。消费者对四个行业的投诉次数行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表所示本例题的研究目的和思路：•分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响•作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等•若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异2、方差分析中的有关术语（1）因素或因子(factor)：所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子单因素方差分析双因素方差分析（2）水平或处理(treatment)：因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平（3）观察值：在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值（4）试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验（5）总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体（6）样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据二、方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(图形分析)不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数零售业旅游业航空公司家电制造1.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理（两类误差）1.随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差2.系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差方差分析的基本思想和原理(两类方差)1.数据的误差用平方和(sumofsquares)表示，称为方差2.组内方差(withingroups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差3.组间方差(betweengroups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理(方差的比较)1.若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近12.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于13.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响三、方差分析的基本假定1、每个总体都应服从正态分布2、各个总体的方差必须相同3、观察值是独立的方差分析中的基本假定1.在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等2.如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分方差分析中基本假定如果原假设成立，即H0：m1=m2=m3=m4四个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为m、方差为2的同一正态总体，则样本均值的抽样分布都是服从均值为m、方差为2/n的正态分布。Xf(X)m1m2m3m4方差分析中基本假定若备择假设成立，即H1：mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体Xf(X)m3m1m2m4四、问题的一般提法1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m1,m2,,mk表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0：m1m2…mkH1：m1,m2,，mk不全相等3.设m1为零售业被投诉次数的均值，m2为旅游业被投诉次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均值，m4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0：m1m2m3m4H1：m1,m2,m3,m4不全相等7.2单因素方差分析一、数据结构二、分析步骤三、关系强度的测量四、用Excel进行方差分析一、单因素方差分析的数据结构(one-wayanalysisofvariance)观察值(j)因素(A)i水平A1水平A2…水平Ak12::nx11x21…xk1x12x22…xk2::::::xij:x1nx2n…xkn二、分析步骤提出假设1.一般提法H0：m1=m2=…=mk•自变量对因变量没有显著影响H1：m1，m2，…，mk不全相等•自变量对因变量有显著影响2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等构造检验的统计量(计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为),,2,1(1kinxxinjijii式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：构造检验的统计量(例题分析)构造检验的统计量（计算总误差平方和SST）1.全部观察值与总平均值的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为ijxxkinjijixxSST112前例的计算结果：SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295构造检验的统计量(计算水平项误差平方和SSA)1.各组平均值与总平均值的离差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为kiiikinjixxnxxSSAi12112前例的计算结果：SSA=1456.608696),,2,1(kixix构造检验的统计量(计算误差项平方和SSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为kinjiijixxSSE112前例的计算结果：SSE=2708构造检验的统计量(三个平方和的关系)总误差平方和(SST)、误差项平方和(SSE)、水平项误差平方和(SSA)之间的关系kinjiijkiiikinjijiixxxxnxx11212112SST=SSA+SSE前例的计算结果：4164.608696=1456.608696+2708从上述三个误差平方和可以看出：SSA是对随机误差和系统误差的大小的度量，它反映了自变量（行业）对因变量（被投诉次数）的影响，也称为自变量效应或因子效应。SSE是对随机误差的大小的度量，它反映了除自变量对因变量的影响之外，其他因素对因变量的总影响，因此SSE也被称为残差变量，它所引起的误差称为残差效应。SST是对全部数据总误差程度的度量，它反映了自变量和残差变量的共同影响，因此它等于自变量效应加残差效应。构造检验的统计量(计算均方MS)1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为均方差2.计算方法是用误差平方和除以相应的自由度3.三个平方和对应的自由度分别是SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE的自由度为n-k构造检验的统计量(计算均方MS)1.组间均方：SSA的均方，记为MSA，计算公式为1kSSAMSA2.组内均方：SSE的均方，记为MSE，计算公式为knSSEMSE536232.48514608696.1456MSA前例计算结果：526316.1424232708MSE前例计算结果：构造检验的统计量(三个平方和的作用)1.如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差2.判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小构造检验的统计量(计算检验统计量F)1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为n-k的F分布，即),1(~knkFMSEMSAF406643.3526316.142536232.485F前例计算结果：构造检验的统计量(F分布与拒绝域)如果均值相等，F=MSA/MSE1aF分布Fa(k-1,n-k)0拒绝H0不能拒绝H0F统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平a的临界值Fa进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平a，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值Fa若FFa，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FFa，则不能拒绝原假设H0，表明所检验的因素对观察值没有显著影响单因素方差分析表(基本结构)单因素方差分析(例题分析)三、关系强度的测量关系强度的测量1.拒绝原假设表明行业因素(自变量)与被投诉次数（因变量）之间有关系2.组间平方和(SSA)度量了自变量(行业)对因变量(投诉次数)的影响效应只要组间平方和SSA不等于0，就表明两个变量之间有关系(只是是否显著的问题)当组间平方和比组内平方和(SSE)大，而