《线性代数》第四章线性方程组 第2节

第二节齐次线性方程组齐次线性方程组的概念齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的解空间一、齐次线性方程组)1(000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组nxxx21X若令,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0XA则(1)也可写成向量形式:njaaaamjjjj,,2,121若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21naaa那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T)0,0,0(X显然(3)0aaan2211nxxx由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX0有非零解R（A）n齐次线性方程组AX0只有零解R（A）=n齐次线性方程组a,a,a12n线性无关,那么R(A)=n。a,a,a12n如果方程组(2)有非零解,则向量组线性相关,那么R(A)n定理证明只有系数全为零时成立从而反之亦然。0a...aan2211nxxx000ηηηη2121AA)(A齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：12,0AX（1）若都是齐次线性方程组AX012的解，那么也是的解，这是因为二、齐次线性方程组的解空间的解0AX齐次线性方程组（2）若则对任意实数kηk,也是0AX的解。（原因是)00)(kkAkA若用S表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合则上述两个性质即为：SkRkSSSS112121,,.2,,.1则若则若这说明集合S对向量的线性运算封闭，所以S构成的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1)的解空间。nRr,,21设是齐次线性方程组0AX的一组解向量，若它满足下列条件：（1）12,,r线性无关；三、齐次线性方程组的基础解系定义0AX12,,r12,,r0AX（2）方程组的任一解向量都可由线性表出则称向量组是齐次线性方程组的一个基础解系。12,,r0AX如果是齐次线性方程组,,,21rkkk的一个基础解系那么，对任意常数kkkrr11220AX也是的解，0AX称这种形式的解为的通解，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，进而求出通解。注意则齐次线性方程组AX0的基础解系含有n-r个向量。00001001,1,,11,1nrrrnrbbbbB得行最简形矩阵,不妨设对方程组0AX的系数矩阵A进行初等行变换，证明nrARnmA)(矩阵，是设定理(*)112112211111nrnrrrrnnrrnnrrxbxbxxbxbxxbxbx以B为系数矩阵的方程组xxxrrn12,,称为方程组（*）的自由变量，0AX由于A与B的行向量组等价，故与（*）同解任意给定nrrxxx,,21一组数值，代入到（*）中都可以求出（*）的一个解，从而得0AX的一个解。(**)100,,010,00121nrrxxxnrrxxx21现在，令分别取以下n-r组数值0AX代入（*）可求出的n-r个解，设为*)*(*100,,010,001,,121221111rnrrnrnrrddddddbarnnrrlll2211因为向量组（**）线性无关，按定理，加长的向量组（***）也是线性无关的，这样就得线性方程组(1)的n-r个线性无关的解。0AXTnlll),,(21b下面，我们再证明的任一解rn,,21都可由线性表出且令0AXa则仍是的解，并且rnnrrlllb2211nrrrrnrrnnrrrrlllllddlddlddl211121221111100010001,,barnnrrlll22110001rddrnnrrlll2211b它应满足（*）的每一个方程，代入（*）解得=0也就是即021rddda0AX是齐次线性方程组rn,,21由定义，的基础解系，即证明了当R（A）=r〈n时齐次0AX线性方程组中有n-r个自由变量，使基础解系由n-r个解向量组成。说明１．方程组的基础解系不是唯一的．２．方程组的基础解系又称为解空间的基．.kkkxrnrn2211３．若是的基础解系，则其通解为rn,,,210Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk1312)1(~)1(321131111111rrrrA解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵例求解齐次线性方程组21004200111123221~rrr000021001111000021001011~12rr由知方程组有非零解且与下面方程组同解42)(AR032030432143214321xxxxxxxxxxxx02043421xxxxx42,xx选为自由变量，得)1(243421xxxxx令0,142xx解得11100(,,,)T令1,042xx解得T)1,2,0,1(2(,,,)1100TT)1,2,0,1(12010011214321ccXxxxx21,cc从而得到一个基础解系方程组的通解为为任意常数其中注意：将（1）式写成：444322421xx2xxxxxxx12010011214321ccXxxxx则直接可以写出方程组的通解为：21,cc为任意常数其中例求解齐次线性方程组解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵232023201111)3(~)1(1013121111111312rrrrA000023201111~23rr023204324321xxxxxxx得同解方程组0302042143214321xxxxxxxxxxx43,xx10014343xxxx选为自由变量，分别取解得1021232121xxxx2223211101001故得方程组的一个基础解系为：2211ccX方程组的通解为即1010012232114321ccXxxxx为任意常数21,cc其中同上例：将系数矩阵化成行最简矩阵000012/31002/101~000012/3101111~000023201111443343231xxxxxx23xx21x得同解方程组：则可得方程的通解：1010012232114321ccXxxxx线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．小结思考题2nR(A),0,1n)A(R,1,n)A(R,n)A(R,AA),2n(nA**当当当证明的伴随矩阵为阶矩阵为设