第2章 通信系统分析基础

第二章通信系统分析基础2.1引言2.2周期信号的频谱2.3非周期信号的频谱2.4信号与系统分析的基本方法2.5信号无失真传输2.1引言在通信系统中，传输的主体是信号。信号是数据的具体表示，数据是抽象或具体描述事实、物体、状态等属性的数字和符号。信号可以分为确知信号与随机信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号等。频域分析：采用傅里叶分析法（时域函数在频域上的表示，即频谱）；时域分析：主要包括卷积和相关函数。研究对象：线性时不变系统，非线性时变系统。反映系统传输特性的传递函数（频域）。2.2周期信号的频谱傅立叶级数任何一个周期信号，只要满足狄里希莱条件，都可以表示为傅立叶级数。狄里希莱条件：①在一周期内只有有限个间断点；②在一周期内只有有限个极值点；③绝对可积：傅立叶级数的三种表示形式1、傅立叶级数的三角形式：2、傅立叶级数的另一种三角形式：3、傅立叶级数的指数形式：其中Cn=|Cn|e-jθ是n次谐波分量的幅度值，故由|Cn|与频率关系的图形可得到此信号的离散振幅频谱。这种频谱也叫离散频谱。离散频谱分析离散频谱离散频谱的对称性与反对称性对于实数值的周期信号f(t)，由上述可知：|Cn|=|C-n|，-θn=θ-n这就是说，对于纵坐标，振幅频率是对称的，为n的偶函数；相位频率是反对称的，为n的奇函数。实例分析周期脉冲序列，图2-1Sa(x)=sin(x)/x，图2-2周期脉冲的傅里叶级数频谱图(1)相邻频率谱线的间隔与周期有关，这里等于1/T。包络第一个零点在n/T，即n/T＝1/处。对于本例，当n=5时。即第五次谐波的幅度为0，或没有第五次谐波。依此类推，第10次，15次，…谐波的幅度为零。(2)归一化的振幅频谱的包络由脉冲宽度确定。图2-3(a)把负频率包括在内，常称它为双边频谱。所谓负频率成分，实际上是由于使用了傅立叶级数这一数学工具带来的结果，现实中是不存在的。(3)从振幅频谱图看出，谐波次数越高，幅度越小。信号频率成分大部分包含在第一个零点之内，即在0≤f≤1/频率范围内。所以在T时，常把信导的频带B，估计为包络第一个零点以下的频带，即B=1/。也就是说，当单个脉冲波形给定时，脉冲序列信号的频带与脉宽成反比。(4)相位频谱值可取0或±，这由Sa(n/T)的极性决定，当极性为正时，相角为零；极性为负时，相角为±．由于相位频谱的反对称性，只需画出一边的相位频谱图，就可以知道另一边的频谱分布，如图2-3(b)所示。问题：为什么要讨论频谱？我们总是希望信号以很快的速度来进行传输，因此，信号的频率要越高越好；物理信道的属性总是模拟性质的，并且一定的材质只对某一些频率有效，而对某些频率阻碍很大；讨论频谱可以让我们清楚的知道每种信号的频率成分。2.3非周期信号的频谱傅里叶变换非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究，可把它看作周期信号周期趋于无穷的一种极限情况。在指数形式的傅式级数展开中令可得：由到的变换叫傅里叶变换，而相反的变换称为傅里叶逆变换。傅里叶变换的运算特性及常用的傅里叶变换对——表2-2连续频谱分析连续频谱通常，F(ω)是角频率ω的复函数，可写成：|F(ω)|叫做f(t)的振幅连续频谱，θ(ω)叫做f(t)的相位连续频谱。连续频谱的奇偶性振幅频谱是ω的偶函数,相位频谱是ω的奇函数。实例分析求矩形脉冲函数的频谱，如图2-4所示。结论：1、一般来说，F(ω)是一个复函数。本例则为实函数，是一个特例。当F(ω)为正时，相位为零；F(ω)为负时，相位为±π。2、图示为双边频谱，负频率实际上不存在。3、对于本例的矩形脉冲来说，频谱函数的第一个零点出现在ω=2π/τ，即f=1/τ处。把从零频率到这一频率的范围定义为信号f(t)的频带宽度，则B=1/τ。4、对于一切信号，有如下结论：“时间受限的信号的频谱必为无限宽，而频谱有限的信号的波形必为无限宽。”注意周期信号是用级数来描述的，而级数的频率是不连续的，所以周期信号的频谱是离散的。非周期信号是用积分来描述的，其频率变量是连续的，所以非周期信号的频谱是连续的。在实际通信系统中，只取携带信号主要特征和功率的频谱段和信号段进行通信系统的设计，因此，这种工程上的近似处理会引起信号传输的失真。2.4信号与系统分析的基本方法分析一个通信系统，本质上是建立在对每一个功能模块进行分析的基础之上的，即所谓“信号通过系统”的问题。在一个输入信号的作用下，可给出一个输出信号的任何物理体系称为系统。本节着重研究线性系统，它支持叠加定理。非线性系统的分析一般采用近似（线性）算法和图解法。下面先引入冲激函数和卷积的概念。冲激函数冲激函数的定义可以认为函数是：在它出现时取不定值，即在t=t0时为无限大，而在其他时刻均为0，但其覆盖的面积为1，或称其冲激强度为1，故它称作单位冲激函数。冲激函数是一个理想信号，但可以把它想象为一个振幅很大、持续时间很短而面积为1的脉冲，如图2-6的矩形、三角、高斯或双边指数脉冲序列所示。0000)(1d)(ttttttt单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的取样特性如果f(t)在t=t0处连续，且处处有界，则有上式表示f(t)可以用无限多个冲激函数的离散和近似，而在t=时刻冲激函数的强度为f()。频域中的冲激函数由对偶特性，δ(t)1，得：12πδ(ω)0)()(00tjtjedtettttF)()()()(000tttftfttttftfd)()()(卷积卷积的定义卷积定理与卷积特性卷积定理：时域频域交换律：分配律：结合律：任意信号与冲激函数的卷积)()()()(2121FFtftf)()(21)()(2121FFtftf)()()()(*)(tfdtfttf数学中的乘号为×下面的*是数学中的卷积符号实例分析—卷积定理的应用求单音调制脉冲的傅里叶变换，图2-9。图2-9(a)：余弦波cos(ω0t)图2-9(b)：矩形脉冲rect(·)图2-9(c)：余弦波的傅里叶变换F1图2-9(d)：矩形脉冲的傅里叶变换F2图2-9(e)：cos(ω0t)×rect(·)的波形图2-9(f)：F1*F2的波形图2-9(e)就是图2-9(f)时域分析法在时域中，线性系统是用它的脉冲响应来描述的。脉冲响应的定义是把一个单位冲激函数δ(t)作为输入信号时，系统所产生的输出（响应）h(t)。时不变系统的定义上图表示：脉冲响应函数h的形状与单位脉冲δ加入系统的时间无关——时不变。)(te)(0tte)(tr)(0ttrH由单位冲激函数的取样特性，输入信号x(t)可表示为无限多个冲激函数的离散和，当△τ0即如果系统是物理可实现的，即对于t0有h(t)=0，那么上式可写为：综上所述，在时域中，通信系统在输入信号x(t)激励下，其输出响应是x与系统的脉冲响应函数h(t)的卷积结果。dττthτxty)()()(0)()()(dττthτxty频域分析法如果系统的输入、输出和脉冲响应的傅里叶变换存在，即则由卷积定理可知传递函数H一般是一个复量，可写为其中|H(ω)|表示线性系统的幅频特性，ψ(ω)表示线性系统的相频特性。低通系统的带宽定义:，也称3分贝带宽带通系统有类似定义。一个系统幅频特性的均匀性是信号无畸变的必要条件之一其中设：系统带宽定义理想低通滤波器的传播特性分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。理想低通滤波器的传输特性为：矩形脉冲通过理想低通的响应分析结论分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。截止频率分别取：2/，10/，2/5。1、输出波形滞后于输入信号td时间。td为滤波器的延迟。2、输出波形已经有些失真，不再是矩形。宜选用合适的带宽以获得最佳的输出波形。2.5信号无失真传输信号传输失真程度依赖于信号带宽和传输系统传递函数的关系。无失真传输的含义：一个通信系统的输出信号除了在幅度上可能被改变并引入一个常值的时延外，在波形上应与输入信号准确一致。不失真条件（式2-61：时域；式2-63：频域）：⑴幅频特性|H(ω)|对所有的频率（全频率范围）来说均应为常数，即与频率无关；⑵相频特性是通过原点的直线，它的斜率为td，td表示时延（图2-14）。如果输入信号的频谱局限在一个频带内，那么上述条件只要在该频带内满足就行了。低通、带通、高通滤波器。两种不同形式的信号畸变：幅度失真，相位失真。信号不失真传输条件网络（系统）的幅频特性是一个不随频率变化的常数。网络（系统）的相频特性应与频率成负斜率直线关系。0)(t)(0)(HK0)(00t（a）（b）（c）图3-12图图图图-图图图(a)图图-图图图(b)图图图图-图图图图(c)