第11讲 平面直角坐标系与函数

点击进入相应模块第十一讲平面直角坐标系与函数1.了解：变量、常量、自变量、函数及平面直角坐标系的有关概念；函数的三种表示方法.2.理解：各个位置的点的特征，对称点的坐标的特征以及平面内图形的变化与坐标变化的关系.3.掌握：求函数中自变量的取值范围；画出平面直角坐标系；根据坐标确定点的位置；根据点的位置求出坐标.一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系的定义：平面内两根互相_____，且具有公共_____的数轴构成平面直角坐标系.水平的数轴叫横轴(____)，取_____为正方向.竖直的数轴叫纵轴(____)，取_____为正方向.两根数轴的_____是两根数轴的原点.垂直原点x轴向右y轴向上交点2.点的坐标++-+--+-+00-【即时应用】1.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)在第___象限.2.若点P(m,m-3)在x轴上，则m=__.3.若P(m-2,m-4)在第四象限，则整数m的值为__.四33二、坐标的平移与轴反射1.坐标平移(1)将点P(x,y)向右(左)平移k(k＞0)个单位长度得P′(x+k,y)(P′(x-k,y)).(2)将点P(x,y)向上(下)平移k(k＞0)个单位长度得P″(x,y+k)(P″(x,y-k)).2.坐标的轴反射(1)点Q(x,y)关于y轴的对称点Q′(-x,y).(2)点Q(x,y)关于x轴的对称点Q″(x,-y).(3)点Q(x,y)关于原点的对称点(-x,-y).Q【即时应用】1.若将点A(2,3)向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为_______.2.点P(-2，3)关于x轴的对称点Q的坐标为_________.3.若点A(3，2)关于y轴的对称点B的坐标为(a,b),则a+b=___.(0，7)(-2，-3)-1三、函数1.函数的有关概念函数：如果变量y随着变量x的变化而变化，并且对于x取的_______值，y都有_____的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=_____，其中x叫做_______，y叫做_______.2.函数的图象：对于一个函数，以自变量取的每一个值为_______，以相应的函数值为_______，描出每一个点，由所有这些点组成的_____称为这个函数的图象.3.函数的表示方法：_______，_______，_______.每一个惟一f(x)自变量因变量横坐标纵坐标图形列表法图象法公式法【即时应用】1.在关系式①y=3x2-1;②③y=|x|;④y3=x;⑤中，y是x的函数的是_________(填序号).2.函数中自变量x的取值范围是___________.3.如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量x必须满足____.yx;21yxx①③④⑤x1yx2x≥1且x≠2x44.为迎接省运会在我市召开，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站60排，第一排40人，后面每一排都比前一排多站一人，则每排人数y与该排排数x之间的函数解析式为_____.【解析】第一排40人,第二排［40+(2-1)］人，第x排的人数y=40+(x-1)=39+x.答案：y=39＋x(x=1,2,3,…,60)【核心点拨】1.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，另外实数和数轴上的点也是一一对应的.2.x轴，y轴上两点间的距离参照下述方法计算，x轴上两点P1(x1,0),P2(x2,0)之间的距离P1P2=|x2-x1|，y轴上两点Q1(0,y1),Q2(0,y2)之间的距离Q1Q2=|y2-y1|.3.在判断坐标系中的一个图象是否为函数图象时，关键是看任何一条与x轴垂直的直线与已知图象是否有惟一交点.点的坐标◆中考指数:★★★★★知识点睛1.点P(x,y)到x轴、y轴的距离分别为|y|和|x|.2.特殊位置的点的坐标的特征:(1)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.(2)与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的点的横坐标相同.特别提醒在坐标平面内求点的坐标一般分两种情况：一是有坐标网格的，可循着网格线寻找；二是无坐标网格的，一般需要由点作坐标轴的垂线，求出相应垂线段的长度后，再求点的坐标.【例1】(2011·广安中考)在直角坐标平面内的机器人接受指令“［α,A］”(α≥0，0°A180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令［2,60°］后位置的坐标为()(A)(B)(C)(D)(1,3)(1,3)(3,1)(3,1)【教你解题】画图并构造直角三角形根据题意，画出图形，并过点M作MN⊥y轴于点N求ON及MN的长在Rt△OMN中，∠MON=60°，OM=2，3MNOMsin6023,21ONOMcos6021.2确定坐标结果∵点M在第三象限，∴点M的坐标为(3,1)选C【对点训练】1.(2012·济宁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于()(A)－4和－3之间(B)3和4之间(C)－5和－4之间(D)4和5之间【解析】选A.因为点P坐标为(-2,3),所以又交x轴的负半轴于A,所以点A在-4与-3之间.22OP2313，3134，2.(2012·扬州中考)在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是______．【解析】因为第一象限内的点横坐标为正,纵坐标为正,所以解得所以m2.答案：m2m0,m20,m0,m2,求函数自变量的取值范围◆中考指数:★★★★☆知识点睛函数自变量取值范围的五种情形:1.若函数解析式是整式，其取值范围是全体实数.2.若函数解析式是分式，其取值范围应使分母不等于零.3.若函数解析式是偶次根式，其取值范围应使被开方数为非负数.4.若函数解析式为零指数和负整数指数，其取值范围应使底数不等于0.5.与实际问题有关的函数解析式，其自变量的取值范围除了满足上述条件外，还应使实际问题有意义.特别提醒在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素:1.自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．2.问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【例2】(2012·万宁中考)函数的自变量x的取值范围为()(A)x≥-2(B)x-2且x≠2(C)x≥0且x≠2(D)x≥-2且x≠21yx2x2【教你解题】二次根式有意义分式有意义确定x的范围结果∵x+2≥0，∴x≥-2∵x-2≠0，∴x≠2x≥-2且x≠2选D【对点训练】3.(2012·怀化中考)在函数中，自变量x的取值范围是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.∵2x-3≥0,解得.y2x33x2＞3x23x23x23x24.(2012·衡阳中考)函数中自变量x的取值范围是()(A)x＞-2(B)x≥2(C)x≠-2(D)x≥-2【解析】选A.由题意知：x+2＞0,所以x＞-2.2yx25.(2012·湘潭中考)下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是()(A)(B)(C)y=x-3(D)【解析】选D.A中x的取值范围是x≠3，B中x的取值范围是x＞3；C中x的取值范围是全体实数.1yx31yx3yx3函数的图象◆中考指数:★★★★☆知识点睛掌握函数图象应注意以下三个方面:1.函数图象的画法：列表；描点；连线.2.函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系：函数图象上任意一点的坐标满足函数解析式，以满足函数解析式的任意一组值为坐标的点一定在函数图象上.3.函数图象的意义：分析函数图象的意义，首先要明确横轴和纵轴表示的意义；其次要注意分析特殊点的意义，同时还要注意分析其增减性.特别提醒利用函数图象解决问题时要明确横轴和纵轴表示的意义；注意起点是否是从零开始及单位是否一致.【例3】(2011·内江中考)小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()(A)14分钟(B)17分钟(C)18分钟(D)20分钟【思路点拨】分析题意，明确路程随时间的变化情况.观察图象，结合横轴和纵轴表示的意义，求出平路、上坡路、下坡路的速度，再求出返回时的时间.【自主解答】选D.由图象可得上学时上坡、下坡、平路的路程分别为400米、800米、800米，用的时间分别为5分钟、4分钟、8分钟，所以上坡、下坡、平路的速度分别为80米/分钟、200米/分钟、100米/分钟．根据放学返回时平路、上坡、下坡的路程恰好是上学时平路、下坡、上坡的路程，可得返回时平路、上坡、下坡的时间分别为8分钟、10分钟、2分钟，所以总共需要20分钟.【对点训练】6.(2012·益阳中考)在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是()【解析】选B.选项A：由图象中发现，水温达到100℃时温度保持了一段时间后又在上升，错误;选项C：由图象中发现，水温达到100℃后温度还在继续上升，错误；选项D:由图象中发现，水在加热时有一段时间温度不变，错误.7.(2012·重庆中考)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s．下面能反映s与t的函数关系的大致图象是()【解析】选Ｂ．小丽从家出发开车前去观看，与比赛现场的距离s越来越近，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，这段时间与比赛现场的距离越来越远，遇到妈妈后聊了一会儿，此时与比赛现场的距离不变，继续开车前往比赛现场，这段时间s越来越小，直至为0．【创新命题】用坐标表示平移和旋转【例】(2011·长沙中考)如图，在平面直角坐标系中，点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标是()(A)(2，2)(B)(-4，2)(C)(-1，5)(D)(-1，-1)【解题导引】根据“右加左减，上加下减”确定点P平移后的坐标.【规范解答】选A.借助网格，可以看出在平面直角坐标系中点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标为(2，2).【名师点评】通过对用坐标表示平移的分析与总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示:1.(2011·宜昌中考)如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为(2，1).如果将矩形OABC绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为()(A)(2，1)(B)(-2,1)(C)(-2,-1)(D)(2，-1)【解析】选C.矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕原点旋转180°得到的，矩形OABC与矩形OA1B1C1关于原点成中心对称，因此点B1的坐标为(-2,-1).2.(2012·娄底中考)如图，A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a+b=_____.【解析】∵A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，可知线段AB向右平移了一个单位，向上平移了一个单位，则a=0＋1=1，b=0＋1=1，则a+b=1+1=2.答案：2