26.双因素试验的方差分析

1一、双因素等重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析三、小结第二节双因素试验的方差分析2.,,,:21rAAAA因素.,,,:21sBBBB因素表9.8因素A因素B1A2ArA1B2BsBtXXX11112111,,,tXXX21212211,,,tXXX12122121,,,tXXX22222221,,,stssXXX12111,,,stssXXX22212,,,trrrXXX11211,,,trrrXXX22221,,,rstrsrsXXX,,,21一、双因素等重复试验的方差分析3假设.,,1,,,1,,,1),,(2tksjriNXijijk～.,,2均为未知参数独立各ijijkX)1.2(.,,2,1,,,2,1,,,2,1,),,0(,2tksjriNXijkijkijkijijk独立各～P2834记号risjijrs111总平均rissjiji,,1,11sjrriijj,,1,11riii,,1,sjjj,,1,的效应水平iA的效应水平jB.0,011sjjrii5)(jiijjiijij记为,ijji的交互效应和水平水平jiBAsjriij,,1,01risjij,,1,01.0,0,0,0,,,2,1,,,2,1,,,2,1,),,0(,11112sjijriijsjjriiijkijkijkijjiijktksjriNX独立各～双因素试验方差分析的数学模型(2.5)6检验假设.,,,:,0:21112101不全为零rrHH.,,,:,0:21122102不全为零ssHH.,,,:,0:121113121103不全为零rsrsHH2.研究统计特性;检验步骤1.分解平方和;3.确定拒绝域.71.分解平方和risjtkijkXrstX1111tkijkijXtX11sjtkijkiXstX111ritkijkjXrtX111risjtkijkTXXS1112)(总偏差平方和(总变差)risjtkjiijijkXXXXXX111)()()[(2)](XXXXjiij8risjtkjiijijkXXXXXX111)()()[(2)](XXXXjiijrisjtkijijkXX1112)(riiXXst12)(sjjXXrt12)(risjjiijXXXXt112)(TSESBSASBAS误差平方和因素A的效应平方和因素B的效应平方和因素A,B的交互效应平方和92.研究统计特性1rst)1(trs1r1s)1)(1(sr2)1(trsriistr122)1(rijrts122)1(risjijtsr1122)1)(1(TSESASBSBAS自由度数学期望103.确定拒绝域,0:2101为真时当rH)).1(,1())1(()1(trsrFtrsSrSFEAA～的拒绝域为得假设取显著性水平为01,H)).1(,1())1(()1(trsrFtrsSrSFEAA的拒绝域为得假设取显著性水平为类似地02,,H)).1(,1())1(()1(trssFtrsSsSFEBB11的拒绝域为得假设取显著性水平为03,H))1(())1)(1((trsSsrSFEBABA.))1(),1)(1((trssrF12表9.9双因素试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用误差总和TSESASBSBAS1rst)1(trs1r1s)1)(1(sr1rSSAA1sSSBB)1)(1(srSSBABA)1(trsSSEEEAASSFEBBSSFEBABASSFP287表9.9)13例1一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）.表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.414??)()(,05.0,交互作用是否显著异下的射程是否有显著差因素、不同推进器因素检验不同燃料下在水平析模型所需的条件假设符合双因素方差分BA在MATLAB中求解函数:anova2格式:p=anova2(x,reps)说明:执行平衡的双因素试验的方差分析来比较x中两个或多个列或行的均值.不同列的数据代表某一因素的差异,不同行的数据代表另一因素的差异.如果每行列对有多于一个的观察值,则变量reps指出每一单元观察点的数目,每一单元包含reps行.15源程序:a=[58.2,56.2,65.3;52.6,41.2,60.8;49.1,54.1,51.6;42.8,50.5,48.4;60.1,70.9,39.2;58.3,73.2,40.7;75.8,58.2,48.7;71.5,51.0,41.4];p=anova2(a,2)程序运行结果方差分析表帮助16SourceSSdfMSFProbF---------------------------------------------------------------------Columns370.982185.499.390.0035Rows261.68387.2254.420.026Interaction1768.696294.78214.930.0001Error236.951219.746Total2638.323请对照书P289例1的结果17例2在某种金属材料的生产过程中,对热处理温度(因素B)与时间(因素A)各取两个水平,产品强度的测定结果(相对值)如表所示.在同一条件下每个实验重复两次.设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同.各样本独立.问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响?(取显著性水平为0.05)BB1B2AA1A238.038.6(76.6)jT47.044.8(91.8)45.043.8(88.8)42.440.8(83.2)168.4172165.4175340.4iT18在MATLAB中求解程序运行结果a=[38.0,47.0;38.6,44.8;45.0,42.4;43.8,40.8];p=anova2(a,2)源程序方差分析表帮助19SourceSSdfMSFProbF-----------------------------------------------------------------Columns11.52111.5210.020.034Rows1.6211.621.410.3009Interaction54.08154.0847.030.0024Error4.641.15Total71.827请对照书P290例2的结果20检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验的方差分析.二、双因素无重复试验的方差分析21表9.14因素B因素A1ArA2A1B2BsB11X21X1rX12X22X2rXsX1sX2rsX假设.,,1,,,1),,(2sjriNXijij～.,,2均为未知参数独立各ijijX22,),,0(,,,2,1,,,2,1,2独立各～ijijijijijNsjriX.,0,jiijij由于不存在交互作用.0,0,,,2,1,,,2,1,),,0(,112sjjriiijijijjiijsjriNX独立各～双因素无重复试验方差分析的数学模型23检验假设.,,,:,0:21112101不全为零rrHH.,,,:,0:21122102不全为零ssHH24表9.15双因素无重复试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A因素B误差总和TSESASBS1rs1r1s1rSSAA1sSSBB)1)(1(srSSEEEAASSFEBBSSF)1()1(sr25的拒绝域为得假设取显著性水平为01,H)).1)(1(,1(srrFSSFEAA的拒绝域为得假设取显著性水平为02,H)).1)(1(,1(srsFSSFEBB26例3下面给出了在某5个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物(以mg/m3计)的含量的数据:因素B(地点)因素A(时间)1975年10月1976年1月1976年5月1996年8月2891234512752513082272007682686367695956819667645659545851704237331376290278jTiT27设本题符合模型中的条件,试在显著性水平为0.05下检验:在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异.在MATLAB中求解a=[76,67,81,56,51;82,69,96,59,70;68,59,67,54,42;63,56,64,58,37];p=anova2(a)源程序程序运行结果方差分析表帮助28SourceSSdfMSFProbF-------------------------------------------------------------------Columns1947.54486.87513.240.0002Rows1182.953394.31710.720.001Error441.31236.775Total3571.7519请对照书P294例3的结果29三、小结1.双因素等重复试验的方差分析步骤2.双因素无重复试验的方差分析步骤(3)研究统计特性;(2)分解平方和;(4)确定拒绝域.(1)建立数学模型;(3)研究统计特性;(2)分解平方和;(4)确定拒绝域.(1)建立数学模型;