15.3分式方程及其解法课件PPT

说说两方程有何异同一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?解:设江水的流速为v千米/时，则顺水速度为____千米/时；逆水速度为______千米/时；根据题意，得vv306030903162xx分母中含有未知数．追问1方程与上面的方程有什么共同特征？21211023525==+--xxxx；；21133=+++xxxx追问2你能再写出几个分式方程吗？分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．练习下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是（填序号）．22124112321112131453-+==--+=xxxxxxx（）；（）；（）；（）＞．（2）（3）（1）解得：下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：方程两边同乘以（30+v）（30-v），得：）（vv3060)30(906v在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。检验：将v=6代入分式方程，左边=2.5=右边，所以v=5是原分式方程的解。vv30603090一元一次方程思考:分式方程的特征是什么？如何解刚才的分式方程？上面分式方程中各分母的最简公分母是：(30+v)(30－v)方程两边同乘(30+v)(30－v)，得：90(30-v)=60(30+v)解得：v=6检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因此v=6是分式方程的解.答：江水的流速为6千米/时.解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程左右两边同乘最简公分母，然后解方程即可.从去分母后所得的整式方程中解出的x+5=10能使分式方程的分母为0的解解分式方程：25x105x12解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：解得：x=5检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。∴原分式方程无解。增根增根的定义增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验········使最简公分母值为零的根·········探究分式方程的增根原因对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.1、上面两个分式方程中，为什么9030+V6030-V=去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解却不1x-510=x2-25是原分式方程的解呢？1x-510=x2-25我们来观察去分母的过程9030+V6030-V=90(30-v)=60(30+v)x+5=10两边同乘(30+v)(30-v)当v=6时,(30+v)(30-v)≠0两边同乘(x+5)(x-5)当x=5时,(x+5)(x-5)=0分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.2、怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．解分式方程：25x105x12方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：x+5=10解得：x=5检验：当x=5时最简公分母（x-5）（x+5）=0，所以x=5是增根。原分式方程无解。为什么会产生增根？增根产生的原因？例1：解分式方程的一般步骤:1.去分母。化分式方程为整式方程.即把分式方程两边同乘以最简公分母.2.解这个整式方程.3.检验.把整式方程的解(根)代入最简公分母,若结果为零则是增根,必须舍去,若结果不为0,则是原方程的根.4.写结论一化二解三检验例1:xx332:解方程解：方程两边同乘x(x－3)，得：2x=3x－9解得：x=9检验：将x=9时x(x－3)≠0因此9是分式方程的解.分式方程整式方程解整式方程检验转化)2)(1(311:xxxx解方程类似的例2:解：方程两边同乘(x+2)(x－1)，得：x(x+2)－(x+2)(x－1)=3解得：x=1检验：x=1时(x+2)(x－1)=0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解.)2)(1(311:xxxx解方程22162242xxxxx(2)解：方程两边同乘以),2)(2(xx,)2(16)2(22xx得，,44164422xxxx.2x检验：把x=2代入x2-4，得x2-4=0。∴x=2是增根，从而原方程无解。.注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗?解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成____________方程;(2)解这个____________方程;(3)检验:把__________方程的解代入____________.如果值_________,就是原方程的解;如果值__________,就不是原方程的解.应当__________.整式整式这个整式最简公分母中不为零为零舍去解分式方程的一般步骤：分式方程整式方程a是分式方程的解x=aa不是分式方程的解去分母目标解整式方程检验最简公分母不为0最简公分母为01.若方程中的分母是多项式,须先分解因式.再确定最简公分母.2.若方程中的含有整数项,去分母时不要漏乘.解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，没有注意添括号．(因分数线有括号的作用）(3)增根不舍掉。例3：k为何值时，方程产生增根？xxxk2132问：这个分式方程何时有增根？答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即x=2。问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用这个条件求出k值？答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等于2时可求出k值。例3：k为何值时，方程产生增根？xxxk2132解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得k+3（x-2)=x-1把x=2代入以上方程得：K=1所以当k=1时，方程产生增根。xxxk2132k为何值时，分式方程0111xxxkxx无解？例4：方程两边都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得2kkx•当x=1时,原方程无解，则k=-1•当k=-2时，k+2=0,原方程无解•当x=-1时，k值不存在∴当k=-1或k=-2时，原方程无解解：“增根”是你可以求出来的，但代入后方程的分母为0无意义，原方程无解。“无解”包括增根和这个方程没有可解的根思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？1.当m=0时，方程会产生增根吗？3xm23xx3.当m为何值时，方程会产生增根呢?3xm23xx2.当m=1时，方程会产生增根吗？3xm23xx1、解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母2、解分式方程的一般步骤：一化二解三检验1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.