第4章 平面一般力系11级

1第4章平面一般力系各力作用线在同一平面内,既不汇交,又不全部平行的力系.2本章讨论平面一般力系的简化（合成）与平衡它是静力学的重点。因为：1、工程中的很多问题可以简化为平面一般力系问题；2、研究平面一般力系的方法具有一般性。平面一般力系简化的思路(1)把所有的力都移到同一点；(2)将力系简化（合成）。3?问题怎样才能把一个力移到另一个点（不是沿作用线移动），而不改变它对刚体的作用效果？44.1力的平移定理作用在刚体上的力可以向刚体上任一点平移，为了不改变原力对刚体的作用效果，平移后需附加一力偶，此力偶的力偶矩等于原力对该点的矩。FrFFOFO’5附加力偶的力偶矩:注意：附加的是力偶，其力偶矩由原力对平移点之力矩决定。即：力向一点平移,得到一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩.6从力的作用效应看:力不能和力偶等效,但力可以和力（新位置）+力偶等效。力+力偶可与一个力（新位置）等效。注意:力的平移和力的滑移的区别。力线平移定理是平面一般力系向一点简化的理论依据.7实例攻丝8F1F2F3Fn4.2平面一般力系向作用面内任一点简化将每个力向简化中心O平移任选一个简化中心O其中：O,iiFF)(ioiMMF平面一般力系平面汇交力系+平面力偶系OF1’M1F2’M2F3’M3Fn’Mn9向O点简化F1F2F3FnO平面一般力系平面汇交力系+平面力偶系合力作用于O点合力偶MO=MOFR’MoOF1’M1F2’M2F3’M3Fn’Mn10力系的主矢：OFR’MoFFR)(FooMM对O点的主矩：力系主矢的特点：*对于给定的力系，主矢唯一*与简化中心O的位置无关。力系主矩的特点:*主矩MO与简化中心O的位置有关。主矩必须指明简化中心11平面一般力系简化的结论平面一般力系向一点O简化，可得一力和一力偶，该力的大小和方向等于该力系的主矢，作用于简化中心；该力偶的力偶矩等于该力系对O点的主矩。12平面一般力系简化结果的应用分析固定端约束的约束力FFFF13AB插入端约束插入端约束FAyFAxMA14平面任意力系向一点O简化，可得一力和一力偶。OMo此时，原力系与一个力偶等效，合成为合力偶。在这种情况下，主矩与简化中心无关。4.3平面一般力系的合成结果一、简化结果讨论1.MO015OFR’O’FR’Mo’？问题：作用于O点的是合力吗？这种情况下，可以进一步简化此时，原力系与一个力等效。2.,MO=03.,MO0是合力163.,MO0平移的距离为：RoFMd这种情况下，可以进一步简化。OFR’MoO’FRd平移的方向：与Mo的转向相反。最后可得作用于O’点的合力17原力系为平衡力系平面一般力系简化结果小结(1)合力偶只有当主矢为零时，才可能为合力偶。(2)合力当主矢不为零时，一定可以简化为合力。如主矩为零，则作用于简化中心的主矢即为合力；如主矩不为零，则可进一步简化为合力。(3)平衡4.,MO=018合力矩定理)(RoMF)(ioMF)(1FoM)(2FoM)(noMF合力矩定理应用1.当合力对某点之矩不方便求时，利用分力求；2.利用合力矩定理求合力作用线也很方便；3.合力矩定理适用于任何力系。19例题如图所示，刚架上作用有力F，试分别计算力对点A和B的矩。xFyFαFbFbF)(M)(M)(MyxyAxAAcos0FFFαFaαFbaFbF)(M)(M)(MyxyBxBBsincosFFF20Pxxdxh例题已知：载荷集度q,梁长l。求：分布力的合力的大小及合力作线位置。解：分布力的载荷集度q单位长度上的力，单位为：N/m,或kN/m。1)求合力的大小设合力为P，作用线距A点为h。建立x坐标如图。取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。q(x)211)求合力的大小取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。qxq)(xlqxq)(则：xxqPd)(dlxxqP0d)(lxxlq0dql21由几何关系，有：xxlqdlxPxxdxhq(x)222)求合力作用线位置用合力矩定理PhxxxlqPhld0231qllh32即：合力的作用线通过三角形的形心。对图示于分布力，有结论：合力的大小等于分布力的面积，合力的作用线通过分布力的形心。lxP0dPxxdxhq(x))21(qlP234.4平面一般力系的平衡条件受平面一般力系作用的刚体,平衡0oM0RF■平衡方程0)(FoM0X0Y平面一般力系的平衡方程*平面一般力系有三个独立的方程，可解三个未知量。*投影轴可任选，力矩方程的矩心也可任选。0oM0RF24例题已知：F,力偶M，均布载荷q，长度a。求：支座A、B处反力。解：取AB为研究对象，受力如图。FAxFAyFB0X0)(FAm0AxF2aFq0YMaFB2aF30分布力用集中力代替：qaFqFq)213(21qaaMFFBAyFBFqF0F)25(21qaaMFFAy25例题：图示机构P=100kN,M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.求固定端A的约束反力。llADBqFP303lMFqFAxMAADBFP30MFAy解：取ABD为对象，受力图如图示。其中Fq=1/2q×3l=30kN∑X=0：FAx+Fq-Fcos300=0∑Y=0:FAy-P-Fsin300=0∑MA(F)=0:MA-M-Fql+Fsin300l+Fcos3003l=0解得：FAx=316.4kN；FAy=300kNMA=-1188kN.m(与图示转向相反）26■平衡方程的其它形式1二矩式：X=0BAxCAA、B连线不垂直于x轴A、B、C三点不在同一条直线上附加条件：附加条件：B2三矩式：27二矩式的证明：平衡二矩式成立只可能合成为合力或平衡（即不可能是力偶）。因28若有合力，则合力作用线过A点若有合力，则合力作用线过B点合力作用线过ABBAx又有X=0且x轴不与AB连线垂直必有：合力为零，即力系平衡证毕三矩式的证明类似，请大家自己证明由由29xyoF1F2F3Fn若在平面力系中,各力的作用线互相平行,如图,取y轴与各力平行。由平面一般力系的平衡方程0)(FoM0X0Y0)(FoM0Y其中故：平面平行力系的平衡方程为两个独立的平衡方程0X30◆对于平面平行力系条件：AB连线不能与各力作用线平行xyoF1F2F3Fn二矩式：31例题P2FAFB已知：自重P1=700kN,最大起重量P2=200kN。求：能安全工作时，平衡重P3=?解：取整体，受力如图32●可能的不安全情况？满载时，绕B顺时针翻倒；空载时，绕A逆时针翻倒。●不翻倒的条件？1.满载不翻倒的条件：FA02.空载不翻倒的条件：FAFBP2取整体，受力如图。FB0331.满载时（临界态）FAFBP283P21P102P0)210(81123PPP(kN)7534FAFB2.空载时（临界态）空载时，P2=0安全时：75kNP3350kNP243P21P01321PP(kN)350354.5物体系统的平衡静定和超静定问题物体系统：多个物体通过约束连接所组成的系统(整体）。超静定问题的基本概念对于每一种力系，独立的平衡方程的个数是一定的，当未知力的个数超过独立的平衡方程的个数时，就无法仅由平衡方程解出全部未知力。这种问题称为静不定问题，或超静定问题。36对于超静定问题：未知约束力数-独立平衡方程数=超静定次数静定问题超静定问题（1次）MM若：未知约束力的个数独立的平衡方程数静定问题。若：未知约束力的个数独立的平衡方程数静不定问题；或超静定问题。37例1●静定性的判断38例2例339ACBlllFPFQFDllFPABDFAyFAxFByFBxBCFCxFCyF’ByF’BxFQ例4F取AD受力如图取CB受力如图所以，是静定问题。40一个由n个刚体组成的系统，若受到平面一般力系的作用，则至多可列出3n个独立的平衡方程。一般41物体系统的平衡对于物体系统的平衡问题1常常需要求内力；2虽只需求外力，但取整体时，独立的方程数少于未知外力的个数。在这两种情况下，都需要将系统拆开，取其中一个物体或部分物体的组合作为研究对象。42物体系统的平衡求解物体系统的平衡问题★正确选择研究对象；★选择适当的平衡方程，尽量避免求解联立方程。43例题连续梁已知：F=5kN,q=2.5kN/m,M=5kN·m,尺寸如图。求：支座A、B、D处反力。解：FCyFCxFD取整体，受力如图取CD，受力如图FAyFAxFDFB44⑴取CD，受力如图FCyFCxFD将分布力用合力来代替FQ1(kN)521qFQ0)(FCM4DFM11QF0(kN)5.2DF解法145⑵取整体，受力如图FAyFAxFDFB分布力的合力(kN)104qFQFQ0X0AxF0)(FAM1F2BF4QFM8DF0(kN)15BF0YAyFFBFQFDF0(kN)5.2AyF46解法2⑴取CD，受力如图。FCyFCxFDFQ1FD，FCx，FCy⑵取AC，受力如图。FB，FAx，FAy。FAyFAxFBF’CxF’Cy47FQ解法3对整体，将分布力用合力来代替。取CD，将C铰链连在CD上，受力如图。FCyFCxFDFQ？问题:这样求出的FD与前面求出有何不同？解法3中分布力处理有错误有不同，这样求出FD没有了分布力的影响，是错误的。FCyFCxFD48例题已知：连续梁，P=10kN,Q=50kN,CE铅垂,不计梁重，求：A,B和D点的反力。49解：⑴取起重机，受力如图0512PQFG)kN(50210550GF0)(FFM016'GDFF)kN(33.8650DFFDFCyFCxFG’⑵取CD，受力如图0)(FCMFGFFFG50⑶取整体，受力如图。FDFAyFAxFB0)(FMA)kN(100BF0Y)kN(33.48AyF0X0AxF0610123QPFFDB0PQFFFDBAy51例题已知：F=180kN,尺寸如图，单位为m。求：A，H及D处反力。解：法1⑴取整体，受力如图.FAyFAxFH0)(FAMHF0XAxF0YAyF或0)(FHM52FAyFAxFH0)(FBMEyF⑶取DH，受力如图。FDyFDxFEyFExFH⑵取BE(带轮)，受力如图F’EyF’ExFByFBxFC0YDyF0)(FEMDxF53FAyFAxFH0)(FEMByF法2F’EyF’ExFByFBxFC⑴与法1相同，取整体，⑵取BE(带轮)，受力如图求出FAx,FAy,FH.54ByF⑶取AD，受力如图F’EyF’ExFByFBxFC0YDyF0)(FBMDxFFAxF’ByF’DyFAyF’DxF’CF’Bx55答案：kN100HF0AxFkN80AyFkN60DxFkN10DyFFAyFAxFH56解：⑴取整体，受力如图例题已知：F=200N,M=2400Nm,尺寸如图，单位为m。求：A，E处反力。FAyFAxFEyFEx0)(FAMEyF有四个未知量，但本题中，可求出一部分。0YAyF0X0ExAxFF(1)下面需求出FAx或FEx。57⑵取BDHF’BFDyFDx0)(FDMBF⑶取BDH+CE，受力如图FEyFExF’BF’CyF’Cx0)(FCMExF再由(1)式AxF58答案：N325AxFN400AyFN325ExFN600EyF由本题可看出：虽然外载荷F沿铅垂方向，力偶M也可用两个铅垂方向的力来表示，但支座A，E处的水平方向的反力并不为零。FA