系统的因果性和稳定性

第三讲1.3.4系统的因果性和稳定性1.4时域离散系统的输入输出描述----线性常系数差分方程要点•LSI系统因果稳定性定义及判断方法•时域离散系统的输入输出描述及求解方法•线性常系数差分方程、初始条件与系统特性之间的关系1.3.4系统的因果性和稳定性因果系统(causalitysystem)若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。()00hnnLSI系统是因果系统的充要条件：满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，注：关于此条件的严格证明可参考程佩青《数字信号处理教程〉1.3.4系统的因果性和稳定性如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。非因果数字系统是可以近似实现的系统。1.3.4系统的因果性和稳定性0121nx(n)01－11nh(n)0121nh(n)（a）（b）（c）0121ny(n)3－1230121ny(n)323（d）（e）′′一个非因果数字系统的实现1.3.4系统的因果性和稳定性实际系统一般是因果系统对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来，如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系统在判断时必须考虑全部时间变量如y(n)=x(n-k)是有条件因果系统1.3.4系统的因果性和稳定性稳定系统(stabilitysystem)稳定系统是有界输入产生有界输出的系统数学描述：若()xnM()nhnPLSI系统是稳定系统的充要条件：()ynP则•LSI系统是稳定系统的充要条件证明先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则输入有界输出必有界。()()()()()()kkynhkxnkynhkxnk因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-∞nB为任意常数则有()()kynBhk•下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：()nhn(),()0()0,()0hnhnhnhnx(n)=()()()()(0)()()()()()kkkkynhkxnkhkyhkxnkhkhkhk令n=0说明输入有界结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果序列，且是绝对可和的，即：()()()nhnhnunhn•例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。•1001()limlim1NNnnNNnnnahnaaa只有当|a|1时1()1nhna)()(nuanhn0()0nhn解：讨论因果性：时讨论稳定性：0()0nhn解：讨论因果性：时该系统是非因果系统讨论稳定性：00()nnnnnhnaa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为()()nhnaun试讨论其是否是因果的、稳定的。有条件稳定•例1.3.7设系统的)单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。•y(n)=x(n)*h(n)=•因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k≥0时，u(n-k)=1，因此，求和限为k≤n，所以•()()kxkunk()()nkynxk(1.3.15)分析该系统的稳定性：0()()nnhnun0()0nhn解：讨论因果性：时单位取样响应h(n)=u(n)代表的系统为因果非稳定系统1.4时域离散系统的输入输出描述----线性常系数差分方程•描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。·离散时间系统T[·]x(n)y(n)一、系统的时域描述•（1）单位冲击响应h(n)•（2）差分方程01()()()MNiiiiynbxniayni求解条件：N个初始值和M各输入序列二、常系数线性差分方程一个N阶常系数线性差分方程表示为：00()()NMiiiiaynibxni01iiaab，，是常数其中：*差分方程的阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法•对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。•对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是否是线性时不变因果稳定，还需要用初始条件进行限制。差分方程与系统的关系例1：已知常系数线性差分方程（1）若边界条件求其单位抽样响应。（2）若边界条件求其单位抽样响应，并判断是否为线性时不变系统。()(1)()ynaynxn(1)1y(1)0y()()()()(1)0xnnynhny解：1)令输入，则输出，又已知23()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)()0nnaynnyayxyayxayayxayayxaynan由y，得，1(1)[()()]1(2)[(1)(1)]01(3)[(2)(2)]0()01ynynxnayyxayyxaynn由，得，()()()nhnynaun对应一个因果系统111()()(1)1()xnnyyn解：2）令输入，由，求输出111111111211131111()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)0nynaynxnyayxayayxaayayxaayayxaaynaan由，得，11111112111111(1)[()()]1(2)[(1)(1)]1(3)[(2)(2)]()1nynynxnayyxaayyxaaynan由，得，11()(1)()(1)nnynaaunaun2112()()(1)(1)(1)nnynanaaunaun2()(1)xnn当输入时，输出1()()xnn当输入时，输出11()(1)()(1)nnynaaunaun2121()(1)()(1)(1)1xnxnynyny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312()()()()(1)xnxnxnnn当输入时，输出213()(1)()(1)(1)nynanaaaun1(1)naun(1)1y边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12()()ynyn判断是否为线性时不变系统1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们以后讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：作业•1-4；•1-5（1）（3）（5）（7）•1-6（1）（3）（5）；•1-7•1-8下一讲内容及要点要点：•抽样过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？•奈奎斯特抽样定理的意义?•由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为内插恢复过程，该过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？解：mynxmhnm210.5nnxnunhnun，1n当时20.5nmnmmyn24nnmm24nmmn14422143nnn1.已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位抽样响应为h(n)，试求系统的输出y(n)，并画图。0n当时120.5mnmmyn4121233nnynunun124nmm124nmm114122143nn2已知一个线性时不变系统的单位抽样响应除区间之外皆为零；又已知输入除区间之外皆为零；设输出除区间之外皆为零，试以和表示和。hn01NnNxn23NnNyn45NnN012,,NNN4N5N3N本题的目的旨在解释当参与卷积的两序列为有限长时，如何确定卷积和的非零区间。解：对线性移不变系统，有mynxnhnxmhnm对，非零值的区间为xm23NmN对，非零值区间为hnm01NnmN402NNN513NNNyn0213NNnNN得输出的非零值区间01NmnNm()xnn02N3N()hnn00N1N02nNN13nNN0nN1nN()hnmm00N1N0n()hnmm0()hnmm0()hnmm02N()hnmm03N3.判断以下系统是否是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？1Txngnxn（）1212Taxnbxngnaxnbxn解：满足叠加原理是线性系统Txnmgnxnm不是移不变系统12agnxnbgnxn12aTxnbTxnynmgnmxnmTxnm因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统若有界xn当时，输出有界，系统为稳定系统gn当时，输出无界，系统为不稳定系统gnxnMTxngnM则Txngnxn01212nknTaxnbxnaxkbxk满足叠加原理是线性系统0nknTxnmxkm是移变系统02nknTxnxk（）0012nnknknaxkbxk12aTxnbTxn''0'nmkkmknmxk令0nmknynmxkTxnm当时，输出只取决于当前输入和以前的输入0nn而当时，输出还取决于未来输入0nn是非因果系统当时，xnM0nknTxnxk0nknxk是不稳定系统n当01nnM0nknTxnxk