系统的平衡状态为

稳定性与李雅普诺夫方法2稳定性：控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性通常是控制器设计的最基本要求。经典控制理论对稳定性分析的局限性（1）局限于描述线性定常系统（2）局限于研究系统的外部稳定性（输入输出稳定性）经典控制理论的稳定性判据劳斯（Routh）判据奈氏（Nyquist）判据现代控制理论对稳定性分析的特点（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性）现代控制理论的稳定性判据李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论（3）能够反映系统稳定的本质特征。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论李雅普诺夫，俄国数学力学专家，俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院以及法国巴黎科学院的外籍院士。1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》（Thegeneralproblemofthestabilitymotion）中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性控制奠定了基础。Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第二法（直接法）设系统的齐次状态方程为：(,)txfx展开式为：nitxxxfxnii,,2,1),,,,(21方程的解（运动或状态轨线）为：),;(00ttxx初始状态向量初始时刻0000),;(xxxtt4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义（4.1）n维状态向量n维向量函数一、系统状态的运动及平衡状态平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化),(txfx所有状态的变化速度为零，即是静止状态线性定常系统：0),(teexfxAxx平衡状态：0eeAxx00exA0A一个平衡状态——状态空间原点无穷多个平衡状态非线性系统：平衡状态：一般有多个平衡状态),(txfx0),(teexfx3221211xxxxxx例：0032211xxxx10,10,00321eeexxx22221nxxxx欧式范数二、稳定性的几个定义表示向量的长度x2222211)()()(neneeexxxxxxxx表示向量到的距离xex2ncxxxxeee222211)()(xx3ncxxxxxxeeee233222211)()()(xx表示状态空间中，以为圆心，半径为c的圆ex表示状态空间中，以为球心，半径为c的球ex以平衡点为球心，取和为半径，在n维状态空间作出两个球域ex()()、。SS：任意取的正数（可以任意小）：是取定后看能否找到的其中初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡状态。任给一个球域，若存在一个球域，使得从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。)(S)(S)(S)(S1x2xex)(S)(S1、李雅普诺夫意义下稳定1x2xex)(S)(S若与初始时刻无关，则称系统的平衡状态是一致稳定的。ex0t时变系统与有关0t定常系统与无关0t任给一个球域，若存在一个球域，使得从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。)(S)(S)(S)(S00ttexx考虑系统（4.1），如果对任意的实数，都存在另一实数，使当初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即)(S0ex000,),;(ttttexxx时，从任意初态出发的解始终位于以为球心，半径为的闭球域内，即ex)(S则称系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下稳定。ex0李雅普诺夫意义下稳定1x2xex)(S)(S当系统做不衰减的震荡运动时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出，则认为是稳定的。)(S0),;(lim00etttxxx则称系统的平衡状态是渐近稳定的。ex若系统方程的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有ex若与无关，则为一致渐近稳定。（定常系统）0t2、渐近稳定初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接近，直至到达平衡状态后停止运动。1x2xex)(S)(S几何意义：系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。3、大范围渐近稳定几何意义：大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平衡状态。线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。非线性系统稳定性与初始条件密切相关，如果渐近稳定，不一定大范围渐近稳定。初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡状态越来越远。4、不稳定几何意义：1x2xex)(S)(S如果对于某个实数和任一个实数，不管实数有多小，在内总存在着一个状态，由这一状态出发的轨迹超出，则称次平衡状态是不稳定的。0)(S)(S00x4.2李雅普诺夫第一法（间接法）通过系统特征根或者极点分布来判断第一法在线性定常系统中的应用外部稳定性（经典控制理论）零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的。外部稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s的左半平面：AIBAICBAICWssss*1)()()()()()(tttttCxyBuAxx线性定常系统0,ttAxx李雅普诺夫意义下稳定A的所有特征值：且的特征值无重根0)Re(k0)Re(k内部稳定性结论1：思路：AA00A00A0A00(;,0),0,.(;,0)(),0.0,,=/-(;,0)--/=0.tteeeteeteteeteetetetetxxxxxxxxxxxxxxxxxx系统的解为：平衡状态为：且有：易知，对于任一实数当且仅当时都存在一个实数，使由满足不等式的任意非零初始状态出发的解满足，此时，系统为李雅普诺夫意义下稳定。-1A-1AAAA=PAPPPtttteeee作线形变换x=Px,使得为约当阵。因，有界等价于有界。111111232100200000tttttttteteteeteeee0)Re(k0)Re(k且的特征值无重根时，的元素均有界。A结论2：渐近稳定A的所有特征值：0)Re(k需Alim0.tte111111232100200000tttttttteteteeteeee结论3：不稳定A有一个特征值：或的特征值有重根0)Re(k0)Re(k111111232100200000tttttttteteteeteeee例：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。xxx10,121160yu解（1）系统的传递函数为：)3(1)3)(2()2(12116101ssssss极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。BAICW1)(ss（2）求系统的特征方程：0)3)(2(116)det(AI1223求得：，系统不是渐近稳定的。12112112212122121,2,3xxxxxxxxxxxxxxxx例:用间接法判断下列系统的稳定性）））21,211,det()(1)1,1,11AsIAssi系统每个平衡点不稳定。3)21,2112,det()(1)11,11AsIAssi系统平衡点渐近稳定。），21,2011,det()1,10AsIAssi解系统所有平衡点稳定。：），eeex=x()ff(x,)=f(x,)+(x-x)R(x)xette将f(x)在x邻域展成泰勒级数:高阶项之和xxfxx对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡状态的稳定性。xf(x,)t非线性系统：第一法在非线性系统中的应用结论：在线性化系统模型中，1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在处渐近稳定；2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在处不稳定；ex1111212eennnnnfffxxxJacobianfffxxx得线性化模型为其中为矩阵xxxxxAxfAx3)A在特征值的实部有一部分为0，其它的都具负实部，非线性系统在处的稳定性不能得出明确结论，而取决于高次项。exex例：设系统方程为：试确定其在平衡状态的稳定性。11122212xxxxxxxx解系统的平衡状态为：12(0,0),(1,1).TTeexx11112121222|001111--10==-1+0-1=-1=1eexxxxxxxxxxxx（，）在处将其线性化，有，其特征值为，，则系统在处是不稳定的。21112121222|111,221--0-1==-1+10=jeexxxxxxxxxxxx（，）在处将其线性化，有，其特征值为，实部为零，则无法得出系统在处稳定性的结论。（c）不稳定性（b）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义下的稳定性4.3李雅普诺夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。平衡状态能量最小。系统经激励后，其能量若随着时间推移而衰减，最终到达能量最小的平衡状态，则为渐近稳定的。反之，若系统不断从外界吸收能量，则不稳定。对于一些纯数学系统，还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的广义能量函数，称为Lyapunov函数(能满足稳定性定理的函数)。()Vx()Vx是标量函数，x为状态变量，是t的函数。()()dVxVxdt连续一阶偏导，反应能量变化。是非负数（定号性），反应能量大小；()Vx()Vx李雅普诺夫直接法：利用和的符号特性来直接判断系统在平衡状态是否稳定。()Vx在零平衡状态的邻域内①正定：0,x0,x()0Vx②负定：0,x()0Vx③半正定：时，0x()0Vx()Vx④半负定：时，0x()0Vx0x⑤不定：时，可正可负。()0;Vx一、标量函数的定号性(x)V例：已知，确定标量函数的定号性。Txxx321x2322412)((1)xxxVx解：0)(,00)(,0xxxxVV)(xV正定2321)((2)xxVx解：0)(,0xxV)(xV半正定0)(,0,0,0321xVxxx()0Vx其余0)(,00)(,0xxxxVV232121)2()((3)xxxxVx解：)(xV2322212)((4)xxxVx解：0)(,0xxV0)(,02,0231xVxxx()0Vx其余0)(,00)(,0xxxxVV半负定0)(20)(223222