2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第1课时正弦定理(1)课件新人教

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第1课时正弦定理（1）学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．[自主预习·探新知]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC所对角的正弦思考：如图1­1­1，在Rt△ABC中，asinA，bsinB，csinC各自等于什么？图1­1­1[提示]asinA＝bsinB＝csinC＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示]利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．三个角A，B，C对边a，b，c其他元素[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)正弦定理不适用于直角三角形．()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．()[答案](1)×(2)×(3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________.【导学号：91432000】23[由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝32×sin45°sin60°＝23.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______________．2[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝2.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝________.【导学号：91432001】π2[由正弦定理得：3sinπ3＝3sinB，所以sinB＝12.又ab，所以AB，所以B＝π6，所以C＝π－π3＋π6＝π2.][合作探究·攻重难]定理证明在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.[规律方法](1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.(2)要证asinA＝bsinB，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.[跟踪训练]1．如图1­1­2，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明asinA＝2R.【导学号：91432002】图1­1­2[证明]连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝BCA′B＝a2R，∴sinA＝a2R，即asinA＝2R.用正弦定理解三角形已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.思路探究：①角A，B，C满足什么关系？②105°可拆分成哪两个特殊角的和？③由正弦定理如何求得b，c的值？[解]∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝asinCsinA＝102.b＝asinBsinA＝10·sin105°sin30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B＝105°，b＝5(6＋2)，c＝102.[规律方法](1)正弦定理实际上是三个等式：asinA＝bsinB，bsinB＝csinC，asinA＝csinC，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.[跟踪训练]2．已知∠B＝30°，b＝2，c＝2，求A、C、a.【导学号：91432003】[解]由正弦定理得：sinC＝c·sinBb＝2sin30°2＝22，∵cb,0°C180°，∴C＝45°或135°.当C＝45°时，A＝105°，a＝bsinAsinB＝2sin105°sin30°＝3＋1，当C＝135°时，A＝15°，a＝bsinAsinB＝2sin15°sin30°＝3－1.三角形形状的判断[探究问题]1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．提示：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即asinA＝2R，同理bsinB＝2R，csinC＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R.2．由asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到的变形：sinA＝a2R，a＝2RsinA；sinB＝b2R，b＝2RsinB；sinC＝c2R，c＝2RsinC．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinBcosC求解．[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°B90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°B－C90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acosC”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝π2，即△ABC是直角三角形．[规律方法](1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如ab＝sinAsinB等.[当堂达标·固双基]1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是()A．asinA＝bsinBB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinAD[由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得asinC＝csinA．]2．在△ABC中，若sinAsinB，则有()【导学号：91432005】A．abB．a≥bC．abD．a，b的大小无法判定C[因为asinA＝bsinB，所以ab＝sinAsinB.因为在△ABC中，sinAsinB0，所以ab＝sinAsinB1，所以ab.]3．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不等边三角形B[由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，故sinC＝2sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sin(A－B)＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．]4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A等于()【导学号：91432006】A．135°B．90°C．45°D．30°C[由asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2×323＝22，∴A＝45°或135°.又∵ab，∴AB，∴A＝45°.]5．已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[解]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32.∵ab，∴AB＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.谢谢观看