人教版高数必修三第8讲：变量间的相关关系(教师版)

1变量间的相关关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．随机左下右上左上右下两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：2直线回归直线距离的平方和其中，b^是回归方程的________，a^是回归方程在y轴上的________．ˆybx-斜率截距线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．类型一变量之间的相关关系的判断例1：(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．[解析](1)在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故选A.(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．3练习1：对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关[答案]C类型二回归直线方程例2：随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y^＝b^x＋a^的回归系数a^、b^；(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？[解析]第一步，列表xi，yi，xiyi；第二步，计算x－，y－，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi；第三步，代入公式计算b，a的值；第四步，写出回归直线方程．(1)利用公式：b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2a^＝y－－b^x－，4来计算回归系数．有时为了方便常列表，对应列出xiyi、x2i，以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取x＝10，即得所求．[答案](1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x2i49162536x－＝4，y－＝5，i＝15x2i＝90，i＝15xiyi＝112.3于是b^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23；a^＝y－－bx－＝5－1.23×4＝0.08.(2)线性回归直线方程是y^＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．练习1：(2015·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心(即(x，y))为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23[答案]C练习2：某公司的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：x24568y3040605070资料显示y对x呈线性相关关系．根据上表提供的数据得到回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．[答案]15有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：人均GDP/万元1086431患白血病的儿童数/人351312207175132180(1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.15，假如一个城市的人均GDP为512万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？[解析](1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)上述断言是错误的，将x＝12代入y^＝23.25x＋102.15得y^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．练习1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20.(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[答案](1)由于x＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a^＝y－b^x＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y^＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．1．下列两个变量之间的关系：①角度和它的余弦值；②正n边形的边数与内角和；③家庭的支出与收入；④某户家庭用电量与电价间的关系．其中是相关关系的有()6A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A2．下列图形中两个变量具有相关关系的是()[答案]C3．设一个回归方程为y^＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1.2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少1.2个单位D．y平均减少3个单位[答案]A4．现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．[答案]D5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？[解析](1)散点图，如图所示．(2)由题意，得i＝1nxiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，7i＝1nx2i＝32＋42＋52＋62＝86，∴b^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是()A．直线y^＝bx＋a必经过点(x－，y－)B．直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y^＝bx＋a的斜率为i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2D．直线y^＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差i＝1n[yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．[答案]B[解析]由a＝y－bx知y^＝y－bx＋bx，∴必定过(x，y)点．回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．2．下列说法正确的是()8A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关