必修五3.4.基本不等式：(教案)

人教版新课标普通高中◎数学⑤必修13.4基本不等式：2baab教案A第1课时教学目标一、知识与技能1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释.2.会用此均值不等式证明简单的不等式.二、过程与方法经历两个重要不等式的推导和证明过程，从代数和几何两方面体会重要不等式的重要性，养成良好的思维习惯.三、情感、态度与价值观培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力,感受数学的美.教学重点和难点教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程.教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵.教学关键：基本不等式的证明、理解和应用.教学突破方法：以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际出发，放手让学生探究思考.再用多媒体辅助加深学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法；本节课采用观察、感知、抽象、归纳、探究；启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式.从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情.定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案.教学准备教师准备：投影仪.学生准备：直角板、圆规.教学过程一、创设情境，导入新课同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系教师备课系统──多媒体教案2吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成下图.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：22ab；22ab.提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2ab.提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222abab.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有222abab.二、主题探究，合作交流1.一般地，对于任意实数a、b，我们有222abab，当且仅当ab时，等号成立.提问4：你能给出它的证明吗？证明:222222(),()0;()0,ababababababab当时，当时,所以222abab注意强调：当且仅当ab时,222abab2.特别地,如果0,0,,ababababab用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2ababab,从不等式的性质推导基本不等式2abab.用分析法证明：人教版新课标普通高中◎数学⑤必修3要证：abba2，①只要证：abba2，②要证②，只要证02abba，③要证③，只要证0)(2ba，④显然，④是成立的．当且仅当ba时，④中的等号成立，4.你能利用图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？观察右图,得到不等式①的几何解释.易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝CA·CB即CD＝ab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”.评述：（1）如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、拓展创新，应用提高1.利用基本不等式证明不等式例已知x、y都是正数，求证：（1）yxxy≥2；（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.教师备课系统──多媒体教案4解：∵x，y都是正数，∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.（1）xyyxxyyx2＝2，即xyyx≥2.（2）x＋y≥2xy＞0,x2＋y2≥222yx＞0,x3＋y3≥233yx＞0.∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.四、小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数2ba，几何平均数ab及它们的关系2ba≥ab.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba，ab≤2)2(ba.五、课堂作业补充：1.求证:473aa.证明：444(3)32(3)32437333aaaaaa.当且仅当43a=a-3，即a=5时,等号成立.2.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc.证明：∵a、b、c都是正数.∴a＋b≥2ab＞0.b＋c≥2bc＞0.c＋a≥2ac＞0.人教版新课标普通高中◎数学⑤必修5∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc.即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.第2课时教学目标一、知识与技能能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平.教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误.三、情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.教学重点和难点教学重点：基本不等式2abab的应用.教学难点：运用不等式2abab求最大值、最小值.教学关键：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一.教学突破方法：对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤.教法与学法导航教学方法；本节课采用启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：通过自主学习、合作讨论，准确理解不等式等号成立的条件，才能在实际中进行灵活的运用.教学准备教师准备：直尺和投影仪.学生准备：直角板.教学过程一、创设情境，导入新课1．重要不等式：如果)(2R,,22”号时取“当且仅当那么baabbaba.2．基本不等式：如果a、b是正数，那么).(2”号时取“当且仅当baabba教师备课系统──多媒体教案6.我们称2ab为ab、的算术平均数，称ab为ab、的几何平均数二、主题探究，合作交流（基本不等式的实际应用）例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由2xyxy，可得2100xy，2()40xy.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜21，其面积S＝x（36－2x）＝21·2x（36－2x）≤2122236236()28xx.当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长为9m，宽为9m时菜园面积最大为81m2.解法二：设矩形菜园的长为xm，宽为ym,则2（x+y）=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2.由18922xyxy，可得81xy.当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得人教版新课标普通高中◎数学⑤必修7)1600(720240000xxl16002400007202240000720240297600.xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：1.先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；2.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4.正确写出答案.随堂练习:课本第100页练习第1、2、3、4题三、拓展创新，应用提高（利用不等式求最值）例3（1）若x0,求9()4fxxx的最小值;（2）若x0,求9()4fxxx的最大值.分析：本题（1）中有x0和94xx=36两个前提条件;（2）中x0,可以用-x0来转化.解:（1）因为x0，由基本不等式得：99()42423612fxxxxx,当且仅当94xx.即x=32时,9()4fxxx取最小值12.（2）因为x0，所以-x0，由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612fxxxxxxx,所以()12fx.当且仅当94xx，即x=-32时,9()4fxxx取得最大-12.教师备课系统──多媒体教案8规律技巧总结：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.四、小结平均值不等式的应用在用平均值不等式求函数的最值，应注意考查下列三个条件：（1）在函数的解析式中，各项均为正数.（2）在函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值.（3）在函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用平均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.五、课堂作业教材第100～101页的习题3.4A组第2、3、4题.教案B第1课时教学目标一、知识与技能学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.二、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程.教学难点基本不等式2abab等号成立条件.教学过程一、情境导入以2002年北京第24届国际数学家大会的会标导入新课.二、新知探究设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形的边长为22ba.这样4个直角三人教版新课标普通高中◎数