第四讲 数学归纳法证明不等式

第四讲数学归纳法证明不等式对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.),1(1x)(1)5,(2n)(sinsinn:n2NnxnxnNnNnnn例如1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)(归纳奠基）；2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.数学归纳法:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！用上假设，递推才真注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉._______97531______;7531______531_____;31.,)12()1(531,并加以证明的结果猜想出通过计算下面的式子nn,5,4,3,2:别是上面四个式子的结果分解nnnn)1()12()1(531:由此猜想:下面用数学归纳法证明.,1,1)1(即这时等式成立式子左右两边都等于时当n时当即时等式成立假设当1)1()12()1(531,)1()2(knkkkknkk一.用数学归纳法证明等式问题.6)(5n:13整除能够被证明例Nnn特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.练习.用数学归纳法证明:1*5231()nnnAnN能被8整除.课堂练习:322121.aaC.1aB.1A.1)(,1)1(1:.1aaaDnaaaan左端计算所得的项为时在验证用数学归纳法证明C12.12.2.A.2)(,1),1,(12131211:.21-kkkknDCBkknNnn左端增加的项数是到第二步证明从用数学归纳法证明B二.用数学归纳法证明几何问题.?,,,)3(.2,证明你的结论共有多少条这样的直线直线过这些点中任意两点作同一条直线上其中任何三点都不在个点平面上有例nNnn特别提示:用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设.下面用数学归纳法证明凸边形的对角线条数解).3)(3(21)(::nnnnfn.,.0)33(321)3(,3)1(命题成立而三角形没有对角线时当fn11)2(,,,1,1).3)(3(21)(,)2(111kkAAkAAkkknkkkkfkknkkk增加的对角线条数为边形的一边原不相邻顶点连线再加上与点增加的对角线条数是顶增加了一个顶点增加了一边边形的基础上边形是在时当边形的对角线的条数即凸时命题成立假设当练习1:P50习题4.1题5.3,)2(),1(,,13)1()1(21)2)(1(21)2(211)3(21)1(2命题成立可知对任何由命题成立时故nNnknkkkkkkkkkkf下面用数学归纳法证明域数目为条直线把平面分成的区这样的解22)(:2nnnfn.1,2)1(,,1)1(时命题成立部分一条直线将平面分成两时当nfn.1,,1,1,1,22)(,)()2(2kkkkkkknkkkfNkkn也即使原区域数目增加原区域一分为二的其中每一段都把它所在段条直线截成即它被前面个不同交点条直线有条直线与前面第时当即有时命题成立假设当练习2:P50习题4.1题6命题成立对任意正整数可知由命题成立时故当,,)2)(1(,,122)1()1(243k1221)()1(222nknkkkkkkkkfkf练习3：.2)(:,,,2个部分个圆把平面分成这求证不相交于同一点并且每三个圆都两点其中每两个圆都相交于个圆有nnnfnn命题成立时又个部分即一个圆把平面分成二时当证明,22,1,2)1(,1)1(:2nnnfn.)2)(1(.1,2)1()1(22)1(,2,22,2,,1,2)(,,)2(222命题成立可知对任意由时命题成立即当即块加因此这平面的总区域增块每条弧把原区域分成条弧而把它分成个点交于于是它与其它点又无三圆交于同一个圆中每个圆交于两点与前圆那么由题意知第个部分个圆把平面分成即命题成立时假设当Nnknkkkkkkfkkkkkkkkkfkkn二.用数学归纳法证明不等式问题.,512,256,128,64,32,16,8,4,2:2;,81,64,49,36,25,16,9,4,1:.?,12nnnnnbnaba证明你的结论始终小于从第几项起观察下面两个数列例)5,(2,,5,2nNnnbannn即项起从第由数列的前几项猜想)(sinsin.2Nnnn证明不等式例注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且0或时,有(1)1xx≥(1)x当是实数,且01时,有(1)1xx≤(1)xnxxnxxxn1)1(,1,0,1,:.3那么有的自然数为大于且是实数如果证明贝努利不等式例例4:如果(nn为正整数)个正数12,,,naaa的乘积121naaa,那么它们的和12naaan≥.证明:⑴当1n时,有11a，命题成立.⑵设当nk(1)k≥时，命题成立，即若k个正数12,,,kaaa的乘积121kaaa,那么它们的和12kaaak≥.那么当1nk时,已知1k个正数121,,,,kkaaaa满足1211kkaaaa.若1k个正数121,,,,kkaaaa都相等,则它们都是1.其和为1k,命题成立.若这1k个正数121,,,,kkaaaa不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与1211kkaaaa矛盾).不妨设121,1aa……证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.2151241322253,42(2)假设n=k()时命题成立,即,2kNk≥222111112.23kk则当n=k+1时,222221111111223(1)(1)kkkk211111111222()2.(1)(1)11kkkkkkkkk即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.,2nNn≥练习1.求证:222111112(,2).23nNnnn≥练习2.当2n≥时,求证:111123nn证明：（1）当时，左式右式n2112122172.当时，不等式成立n2（）假设当时，不等式成立，即22nk()111123kk则当时，nk11111112311kkkk左式(1)1111111kkkkkkkkk右式当时，不等式成立。nk1由（）（）可知，对一切，且，不等式都成立。122nNn