探究四点共圆的条件

数学活动探究四点共圆的条件学习目标：1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．2、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．一、创设情境，发现问题过一个点的圆不确定1、过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢？三个点呢？（谈谈你的认识.）AAB过两个点的圆不确定过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆2.我们已对上述三种情况有了深刻的认识，那么请问过平面内四个点能确定一个圆吗？二、合作探究，获得猜想1.过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过同一平面内任意不共线的四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？活动1：DCBA2.课本P119图3给出了一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？活动2：结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形的四个顶点共圆.问题：具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢？1234∠1+∠2=180°∠3+∠4=180°猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆活动3：问题：分别测量这三个四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角有什么关系？已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．猜想：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．分析：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，则点D要么在圆外，要么在圆内．证明猜想已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．猜想：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．分析：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，则点D要么在圆外，要么在圆内．证明猜想已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．证明猜想证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆．过A、B、C三点作圆，若点D在圆内．延长AD与圆交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠AEC=∠ADC．∵∠ADC=∠AEC+∠DCE，这与∠AEC=∠ADC矛盾，故假设不成立．因此点D不在过点A、B、C三点的圆内．证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆．过A、B、C三点作圆，若点D在圆外．设AD与圆交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°．证明猜想已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．∵∠B+∠D=180°，∴∠AEC=∠D．∵∠AEC=∠D+∠DCE，这与∠AEC=∠D矛盾，故假设不成立．因此点D不在过点A、B、C三点的圆外．已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．证明猜想证明：综上所述，点D不在过点A、B、C三点的圆外，也不在过点A、B、C三点的圆内．所以点D在过点A、B、C三点的圆上，即过点A、B、C、D可作一个圆．结论：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.获得结论对角互补的四边形的四个顶点共圆.1、如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A,那么同时过点A、B、C、D（填“能”或“不能”）作一个圆．目标检测2、如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆若∠A=115°，则∠C的度数为．3、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=26°,则∠ABD的度数为．（第2题）（第3题）（第1题）能65°64°4.如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，求证：∠BAC=∠AMN5.（2015大连中考题改编）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE,DE=DF，当DE=DF时，求证：AB=BE。五、归纳反思，总结提升猜想验证归纳操作2.在数学活动中要勇于探究，大胆猜想，学会和同学合作交流，分享成功的喜悦.3.掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决生活中的问题.本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？回顾本节课的学习过程，你是怎么到上述知识的？你还有什么收获？1.数学探究活动的一般步骤：如图，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB,那么同时过点A、B、C、D能不能作一个圆？为什么？拓展延伸四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若其顶角相等，则四点共圆．获得结论探究因思考而深刻学习因探究而丰富善问为智善听是德