相平面法

1§8.4相平面法相平面法是Poincare在1885年首先提出来的，它是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。由于它能比较直观、准确、全面地表征系统的运动状态，因而获得广泛应用。2相平面法的作用可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精确度及初始条件和参数对系统运动的影响。在非线性程度严重，或有非周期输入，不能采用描述函数法时，利用相平面法是可行的。3相平面的基本概念4相轨迹的绘制方法解析法图解法实验法5对于一任意二阶非线性微分方程或写成令则有0),(xxfx0),(),(01xxxaxxxaxxxxxx12112102211221),(),(xxxaxxxaxxxx2121022111212),(),(xxxxaxxxadxdxxx图解法6则若、是解析的，在以x1为横坐标轴，x2为纵坐标的平面上绘制一条x2与x1的关系曲线，我们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹组成的图像称为相平面图。),(),(212112xxPxxQdxdx),(21xxP),(21xxQ将方程组写成一般形式有),(),(212211xxQxxxPx相轨迹上某点处切线的斜率。70),(0),(2121xxQxxP),(2010xx2、由式可知，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。0012PQdxdx令联立求解出的点称为系统的平衡点。相轨迹的特点：1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。8相轨迹的画法——等倾线法),(),(),(),(212121210221112xxPxxQxxxxaxxxadxdx为一常数。令根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，称之为等倾线。如果取不同的值则可在相平面上绘制一系列的等倾线。,,219图8-27用等倾线法绘制相轨迹2x23411x),(2010xx表示相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。,,,321从相轨迹起始点出发，平滑的将相邻等倾线上的短线连起来，即得系统相轨迹。),(2010xx10绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性；由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。平衡点又称为奇点。另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。11二、奇点与极限环1、奇点奇点即为系统平衡点，它由方程组联立求解得到。将、在平衡点附近展开成台劳级数，以便研究该点附近相轨迹的形状及运动特性。奇点只有可能出现在x轴上。0),(0),(212211xxQxxxPx),(2010xx),(21xxP),(21xxQ),(2010xx12则有2)0,0(2211)0,0(12121),(),(),(xxxxPxxxxPxxP2)0,0(2211)0,0(12121),(),(),(xxxxQxxxxQxxQ忽略高阶无穷小，一般情况下令02010xx)0,0(121),(xxxPa)0,0(221),(xxxPb)0,0(121),(xxxQc)0,0(221),(xxxQd令13根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：0)()(2bcaddaAI2)(4)(22,1bcaddada则有212211dxcxxbxaxx系统特征方程为特征方程的根为141)同号相异实根)(4)(2bcadda当时，两根同负，奇点称为稳定的节点；当时，两根同正，奇点称为不稳定的节点。0da0da图8-28特征方程根为同号相异实根的相轨迹2)(4)(22,1bcaddada(a)稳定节点1x2x（b）不稳定节点2x1x152)异号实根0bcad图8-29鞍点对应的相轨迹奇点称为鞍点。2)(4)(22,1bcaddada2x1x016)(4)(2bcadda3）重根若，两个相等负实根，奇点称为退化的稳定节点；若，两相等正实根，奇点称为退化的不稳定节点。0da0da2)(4)(22,1bcaddada图8-30重根对应的相轨迹(a)重负实根2x1x0(b)重正实根2x1x017)(4)(2bcadda若，具有负实部的共轭复根，奇点称为稳定焦点；若，具有正实部的共轭复根，奇点称为不稳定焦点。0da0da2)(4)(22,1bcaddada4）共轭复根图8-31共轭复根对应的相轨迹(a)稳定焦点(b)不稳定焦点2x1x02x1x018奇点称为中心点。0,0)(bcadda5）纯虚根2)(4)(22,1bcaddada图8-32纯虚根对应的相轨迹2x1x019相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。2、极限环图8-33极限环2x1x0实际的物理系统中经常会遇到极限环。例如一个不稳定的线性控制系统，它的运动过程是发散振荡。但由于实际系统存在非线性，例如饱和特性，它的振幅不会无限增加，到一定数值后就可能不变了。20应当指出，不是相平面内的所有封闭曲线都是极限环。在无阻尼的线性二阶系统中，由于不存在由阻尼造成的能量损耗，因而相轨迹是一簇连续的封闭曲线，这类曲线不是极限环，因为它们不是孤立的。极限环是非线性系统中特有的现象，它只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是由于系统的非线性特性，导致系统的能量交替变化，这就有可能从某种非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动。21(a)稳定的极限环(b)不稳定的极限环(c)半稳定的极限环2x1xt2x2x1x1x1x1x1xtt22)1()1(22212122221121xxxxxxxxxx[例1]已知一非线性系统运动方程试分析系统的运动稳定性。解：将直角坐标系转化为极坐标系令sin,cos21rxrx代入原方程得cossinsincos21rrxrrx则23)2()1(sincoscossin)1()1(cossinsincos22rrrrrrrrrr由（2）式推得)3(cossin)1(sincos2rrrrr将（3）式代入（1）式整理得)1(2rrr由（1）式推得)4(cossin)1(cossin2rrrrr将（4）式代入（2）式整理得1241)1(2rrr两种情况和有0102rr0)1(r1),()0,0(121xxxPa1),()0,0(221xxxPb1),()0,0(121xxxQc1),()0,0(221xxxQdjbcaddada12)(4)(22,10,021xx特征方程的根为奇点(0,0)为不稳定焦点，附近相轨迹为发散振荡。系统的平衡点（奇点）25在单位圆内任取一点A，由于OAr=1，由方程有则封闭相轨迹内的相轨迹向单位圆逼近。1)2(r，单位圆12221xx02x1xRBA0)1(2rrr在单位圆外任取一点B，由于OBr=1，由方程有则封闭相轨迹外的相轨迹向单位圆逼近。0)1(2rrr为不稳定的焦点。，点为稳定的极限环，平衡0)0(12221xx（系统的极限环）26三、用相平面法分析非线性系统用相平面法分析非线性系统的步骤：1、根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性；2、根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴；3、根据非线性特性建立相平面上切换线方程；4、求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹;5、平滑地将各个区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相轨迹。据此可用来分析非线性系统的运动特性。27[例2]如图所示非线性控制系统在t＝0时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达原点。s+1221srex1uy-图8-36继电控制系统0)0(,6)0(ee解：列写运动方程uy20101xxu28yre又eexye05.005.0eeeeye区域（1）区域（2）（1）（2）ee0ee029区域（1）：212125.05.05.0ctctectee代入初始条件，有0)0(,6)0(ee6,021cc625.05.02tete消去t得62ee——系统在区域(1)的运动轨迹（1）（2）ee0ee0A(6,0)相轨迹为一抛物线，系统从A出发到达B点，进入区域（2）。B点坐标满足区域（2）：代入初始条件，求得062BBBBeeee求得2,2BBee（1）（2）ee0ee0A(6,0)B(2,-2)432325.05.05.0ctctectee2,2BBee2,243cc31.系统沿抛物线从B点运动到C点，进入区域（1）。C点坐标满足2225.025.02ttete消去t得22ee——系统在区域(2)的运动轨迹022CCCCeeee求得1,1CCee（1）（2）ee0ee0A(6,0)B(2,-2)C(-1,1)由初始条件C（－1，1）可求得区域（1）：652525.05.05.0ctctectee1,165cc125.015.02ttete消去t得2ee系统在区域(1)沿抛物线由C点运动到原点。（1）（2）ee0ee0A(6,0)B(2,-2)C(-1,1)33由A点出发运动到原点O的时间tAO可由式求得。COBCABAOtttt根据各区域运动方程，得由tetAB5.0:45.02ABABtt得由25.0:tetBC65.03BCBCtt得由15.0:tetCO25.01COCOtt秒12COBCABAOtttt34,11tg。212tg1)0(,1)0(yy[例3]非线性系统结构如图所示。其中a＝1，试作系统从初始状态出发的相轨迹，概略地画出对应的y(t)曲线。并求出y(t)=0时的各t值。当y(t)为周期运动时，求出运动周期的值。121sr=0yeu-a2a35121sr=0yeu-a2a解：列写运动方程uy000)(21eetgaeaetgaeau当r=0时，。将已知条件代入上式得ye05.00101yyyyyuy36区域（1）：yytctcysincos21jyy,0102tctcycossin21代入初始条件A(-1,-1)，求得1,121cc)4sin(2sincostttyttycossin消去t得222yy系