7第七讲 基于Monte Carlo模拟法的VaR计算

JeffreyHuang第七讲基于MonteCarlo模拟法的VaR计算JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR11VaRΔP分布的确定方法收益率映射估值法风险因子映射估值法风险因子映射估值模拟法（全部估值法）风险因子映射估值分析法（局部估值法）历史模拟法MonteCarlo模拟法基于Delta、Gamma等灵敏度指标的方法JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR12MonteCarlo历史模拟法实质上是利用风险因子的历史数据序列模拟出资产组合的未来损益分布，进而得到给定置信度下的VaRMonteCarlo模拟法不再借助于风险因子的历史数据，而是通过选择或建立适当的随机模型模拟风险因子的未来变化路径，并利用估值公式计算出对应路径的资产组合价值；不断重复上述模拟过程，最大限度地获得风险因子的未来变化路径及其对应的资产组合价值在未来的可能取值，以期更加准确地描绘出资产组合的未来损益分布，进而求得VaRJeffreyHuang一、MonteCarlo模拟法JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR14MonteCarlo随机抽样统计分析法的基本特点是对实际数据进行抽样分析MotneCarlo模拟法是从计算机随机模拟出的而非实际存在的数据进行抽样、统计，又称随机模拟方法尽管抽样的数据来源不同，但采用MonteCarlo模拟法与随机抽样统计分析法的重复抽样的原理相同，所以人们在很多情况下并不对两者加以区分，而常常把这种一次又一次不断重复的随机抽样方法，统称为MonteCarlo模拟法MonteCarlo模拟法可以同时用于求解确定性问题和随机性问题JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR15确定性问题，指对那些已经存在的事实或现象进行研究的问题这类问题往往很难直接求解，而借助于MonteCarlo模拟法对已经存在的事实或现象进行模拟、观测、求解首先，针对所要研究的确定性问题中已经存在的事实或现象，建立一个概率模型或随机过程，使模型或过程的参数等于问题的解然后，通过对模型或过程的反复观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征最后，输出所求解的近似值，并估计解的精度JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR16随机性问题，指你要研究的问题中含有还未发生的随机性成分这类问题一般须借助于随机数来对一些还没有发生的随机现象进行模拟，最后的求解结果也常常是对拟要研究的随机问题的未来变化分布的预测首先，针对待求解问题中的随机现象建立相应的随机模型然后，对随机模型中的随机变量确定抽样方法，再通过计算机的模拟实验产生所需要的随机数，得到模型中随机变量的有关特征数字最后，根据随机模型所确定的解和相关随机变量的某些特征数字之间的函数关系，计算出所求问题的近似解JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR17MonteCarloVaR用MonteCarlo模拟法计算VaR，几乎都是随机性问题用MonteCarlo模拟法计算VaR，是否成功取决于一下三个要素：第一，用以模拟随机变量未来变化路径的随机模型的准确性第二，每次模拟的独立性（时间区间分割数n）第三，足够多的模拟次数（模拟次数N）JeffreyHuang二、单变量资产价格的随机模拟JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR19Itô),(tSaItô过程，即随机变量﹛St﹜t≥0遵循：其中，，ε是一个均值为0，方差为1的正态随机变量dtd右边有两项组成：第一项，称为漂移项，称为漂移率第二项，称为扩散项，称为扩散率或波动率dtSbdttSadS),(),(dttSa),(dtSb),(),(tSbJeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR110),(tSaμ与σ为常数，此时的随机过程称为几何布朗运动在MonteCarlo模拟中，几何布朗运动是最常见的用以描述股票价格未来走势的随机模型该模型也是Black-Scholes期权定价理论的基础我们就以几何布朗运动为例，介绍在MonteCarlo模拟中如何采用离散化方法模拟出股票价格未来变化的一条样本轨道或路径SdSdtdSddtdS，S特别地，当，时，上式变为：StSb),(JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR1111210S)1(nitStSStittittittit，，，，ntTt于是，离散型的几何布朗运动方程为：第一步，将连续布朗运动方程离散化用t和T分别表示初始时刻和到期时刻，取任意的正整数n，将区间[t，T]均匀地分割为n等份，则每个小区间的长度为：其中，St是t时刻的股票价格，μ与σ分别表示股票再t时刻变化的数学期望和标准差，是一个标准布朗运动过程，ε是一个均值为0，方差为1的正态随机变量tJeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR112第二步，确定股票初始价格St；借助于股票价格的历史数据并采用合适的时间序列分析方法估计出参数μ与σJeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR113第三步，利用计算机生成n个相互独立的标准正态随机数，不妨记为﹛εi：i=0，1，2，…，n-1﹜，于是由上式可得：1210S)1(nitStSSitittittittit，，，，JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR114第四步，现在上述的迭代方程中，令i=0，于是由资产价格的初始值St得到St+Δt，再由St+Δt生成St+2Δt，以此递推，直到St+nΔt=ST，于是可生成资产价格离散时间序列﹛St+iΔt：i=1，2，…，n﹜，在二维平面上可以绘出集合﹛t+iΔt，St+iΔt：i=0，1，2，…，n﹜中的各点即可得到一个散点图，用线段依次将这些点连接起来就得到连续几何布朗运动方程的一个近似的样本轨道，也可以说得到资产价格未来变化的一个样本轨道JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR115(i)tS第五步，不断重复第三步和第四步N次，就可以得到资产价格未来变化的N条样本轨道以及资产价格在到期时刻T的变化分布：i=1，2，…，N，表示第i次模拟的资产在到期时刻的价格(i)tSJeffreyHuang三、多变量资产价格的随机模拟JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR117假设资产组合价值受m个风险因子Sj，t，的影响，Sj，t仍服从几何布朗运动，j=1，2，…，m如果m个风险因子不相关，那么我们按照上文的单变量资产价格随即模拟的步骤和方法分别独立地对每个风险因子变量进行模拟其中，对于j=1，2，…，m，εj的取值相互独立，与时间次序也没有关系1210;21S,,,,)1(,nimjtStSSijtitjjtitjjtitjtitj，，，，，，，JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR118遗憾的是，m个风险因子相关的情况更加多见。那么，如何处理风险因子相关的情况呢？我们以均值向量为0，协方差矩阵为R的m维正态随机向量ξ为例，说明产生多变量随机数的方法首先，产生一个m维相互独立的标准正态随机向量ε然后，假设协方差矩阵R是正定的，则可用Cholecky因子分解法把矩阵R表示为R=TT′，其中T是下三角矩阵，T′是T的转置矩阵最后，由m维相互独立的标准正态随机向量ε和下三角矩阵T，可构造出随机向量为:η=TεJeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR119根据正态分布随机变量的性质可知，η是均值向量为0的m维正态随机向量，并且其协方差矩阵为：E[(Tε)(Tε)′]=TE[εε′]T′=TT′=R由于新构造的随机向量η和随机向量ξ具有相同的联合分布函数，从而就可以把随机变量η的模拟样本作为ξ的模拟样本而要模拟随机向量η的样本，只需要首先独立地生成一个N维的标准正态随机向量再乘以下三角矩阵T即可于是，问题就变成了：如何将协方差矩阵R进行Cholesky因子分解以确定矩阵TJeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR120R2212110aaaT11R以m=2为例介绍Cholesky因子分解法假设二维协方差矩阵：222212221122112112212112212110011aaaaaaaaaaaaaTTR满足R=TT′的下三角矩阵：其中，ρ为两个服从均值为0的正态随机向量的相关系数，于是，根据Cholesky因子分解法，二维协方差矩阵R可以按照如下形式分解JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR121R212)1(01T11222212221111aaaaa根据上式可得方程组：2121221)1(01T由此求得：于是，得：JeffreyHuang四、基于MonteCarlo模拟法计算VaR的步骤JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR123MonteCarloVaR(1)TV(2)TV(N)TV第一步，识别风险因子变量Sj，t，其中j=1，2，…，m；建立资产组合价值V与风险因子变量Sj，t之间的映射关系，不妨设为:Vt=V（S1，t，S2，t，…，Sm，t）第二步，对风险因子未来变化进行随机模拟，得到各个风险因子变量Sj，t未来变化的一条样本轨道，并计算出Sj，t，Sj，t+Δt，…，Sj，t+iΔt，…，Sj，t+nΔt=Sj，T，其中j=1，2，…，m第三步，利用第一步给出的固执公式计算组合价值Vt=V（S1，T，S2，T，…，Sm，T）与ΔVT=VT-Vt第四步，不断重复第三步和第四步N次，就可以得到资产组合损益分布，，…，第五步，基于损益分布计算置信度c下的VaR，这与标准历史模拟法相同JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR124MonteCarlo第一，采用MonteCarlo模拟法可以产生大量的关于风险因子未来取值的模拟样本，最大限度地将风险未来变化的各种可能情景模拟出来，而且不必受到历史数据在数量与质量等方面所存在的种种制约，因此，与历史模拟法相比，基于该法所得的结果往往更加精确可靠第二，MonteCarlo模拟法是一种完全估值法，可以处理非线性、非正态问题第三，MonteCarlo模拟法通过选择和建立随机模型，既可以模拟风险因子未来变化的不同分布和不同行为特征，还可以深入、充分地挖掘风险因子的历史数据中所包含的各种有益信息，并通过对模型中相关参数的估计和修正反映到模型中去，从而使得随机模型对风险因子变化的模拟更加贴近于现实第四，MonteCarlo模拟法都可以借助于计算机来完成，从而可以大大提高MonteCarlo模拟法的有效性和精确性JeffreyHuangDatang010307BJ(GB)-PR125MonteCarlo第一，MonteCarlo模拟法的计算结果严重依赖于所选择或建立的随机模型以及估计模型参数的历史数据，因此，这种方法容易存在模型风险和参数估计误差第二，在模拟过程中所使用的随机数序列一般地都是伪随机数，容易出现循环和群聚效应，从而可能导致模拟错误和模拟失效第三，由于一般的MonteCarlo模拟法模拟法的收敛速度与收敛于0的速度相当，所以MonteCarlo模拟法的收敛速度慢、计算效率低，在加上该法本身的计算量一般较大，往往需要花费大量时间，特别当风险因子数量很多时，这种情况更为严重第四，如果收敛速度慢、花费时间多等原因导致随机模拟的次