7第七讲误差传播定律

§3-4误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。一、观测值的函数1、和差函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则若对x、y均观测了n次，则将上式平方，得yxzyxz)2,1(2222niyiixyixizinnnnyxyxz2222求和，并除以n，得由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即0limnnyx将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得0limnnyx222yxzmmm两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即nxxxz21式中mxi是观测值xi的中误差。可以得出函数Z的中误差平方为222221xnxxzmmmm结论：n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即mx1=mx2=mxn=m则为在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。nmmz例1：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L的中误差为m。nmmS结论：量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。例2：如以30m长的钢尺丈量90m的距离，当每尺段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为：mmm7.83590当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为：式中，S的单位是公里。kssmsm结论：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。例3为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2…n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn结论：水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比站mnmhAB2、倍数函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为△x和△z则若对x共观测了n次，则将上式平方，得求和，并除以n，得kxzxzk)2,1(nikxizi)2,1(222nikxizinknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。例4在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。解：SAB=500Sab=500×23.4=11700mm=11.7m得msAB＝500×mSab＝500×（士0.2）=土100mm＝0.1m最后答案为SAB=11.7m士0.1m×±3、线性函救设有线性函数：则有例5设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差nnxkxkxkz221122222112)()()(nxnxxzmkmkmkm321141149144xxxzmmmmmmmmm6,2,3321mmmz6.16141214931442224、一般函数nxxxfz21,式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=12…n)，求z的中误差。当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。xnnxxzxfxfxf2121式中（i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212例6设有某函数z=S·sinα式中S=150.11m，其中误差ms=士005m；α=119°45′00″，其中误差mα=士20.6″；求z的中误差mz。解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。mmmmsmmzsz44cossin22222求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：nxxxfz21,xnnxxzxfxfxf2121ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212二、一般函数的中误差观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值),,,(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？123ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：测回即43.45.8,5.83.4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5.826m误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度基本公式：2cosKlD求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距离中误差：22222)2sin()cos(mKlmKmlD)206265(其中：误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中误差：2222)2cos(2sin21mKlmKmlh2sin21Klh)206265(其中：误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,lml(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.ilimllllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4面积,2lAlAlmm2周长的中误差为dldS4全微分:面积的中误差为全微分:ldldA2（2）1234=Sllll1234222222242sllllssmmmmmmmmm1222221122222AAAAllmlmlmmmmm§3－5加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权•如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：niinllllnnX1211)(1在相同条件下对某段长度进行两组丈量：lll4,2,1•第一组：•第二组：lll10,6,5算术平均值分别为LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL,21mmLL其中误差分别为：mmL1422mmL262241mmL62mmL•全部同精度观测值的最或然值为：101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22221221222121ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在piLiXLi值的大小体现了中比重的大小，称为的权。•令22022iiiLLmmpmm•若有不同精度观测值,,,21LLLn其权分别为,,,11pppn该量的最或然值可扩充为：ppLXpppLpLpLpnnn212211称之为加权算术平均值。•当各观测值精度相同时ppppn21nppXniinLLLL121)111()(mmmmn21二、加权平均值中误差•定权的基本公式：2iicpmc为任意正数，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用m0表示。所以：20201iiiimpmmmp中误差的另一种表达方式：•权的特性1、反映了观测值的相互精度关系。3、不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系222000222222121212111:::::::::nnnmmmpppmmmmmm2、c值的大小和X值没有关系4、若Li是同类量的观测值，此时，权无单位。若Li是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。四、单位权中误差的计算在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差μ，然后根据求出各观测值的中误差。1nvvmnm或以推导计算单位权中误差的公式为0/iimmp001pmnpvvmn