7.3 球

7.3球如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？只需要求出它们的表面积一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？只需求出它们的体积那如何求球的表面积和体积呢？请进入本节课的学习！1.理解球的截面，并能解决相应问题；2.了解圆的切线的相关概念；3.记住球的表面积和体积公式.（重点）4.会用球的表面积和体积公式进行有关的计算，并能解决一些简单的实际问题.(难点）问题2：把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，情况又怎样呢？提示：圆面.探究点1球的截面问题1：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？提示：弦（线段）.rdROß2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下面的关系:1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面．22.rRd截面：用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面).截面圆：平面截球面所得图形是圆.截面的性质：大小圆的定义：1.大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.如⊙O(浅蓝色圆面）.oO2.小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.如⊙O′(黄色圆面）.问题：在球中，球心到截面的距离d与截面圆的大小有什么关系？0.dR（3）当时，截面称作小圆0,.dRr（2）当时，截面和球相切0,,.dRr（1）当时，则截面圆最大称作大圆2222dRrrRd由提示：探究点2球的切线直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点.问题：过球外一点P，有无数条切线，那么所有切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？①②提示：如图①可知，AP为定值，这说明，过球外一点的所有切线长都相等，这些切点的集合是一个圆.22APPOR观察球的体积与表面积公式，思考下列问题：思考1:计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？提示：要计算球的表面积与体积，关键需要确定球的半径R.324VR,S4R.3思考2.想一想若球的表面积为S，如何用S表示球的体积V呢？提示：因为S=4πR2，所以即球的体积V与表面积S的关系式为SR4，3344SSSVR()33434所以，gSSV.34思考3.若两球的半径之比为R1∶R2，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？提示：所以两球的表面积之比为两球的体积之比为322311111122332222224RS4RRVR34S4RRVRR3因为，，2212RR∶；3312RR.∶例1、(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为，求它的表面积。3500例2.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）12cm4cm解：V圆锥21133hrhS231412201(cm)3，33144134cm23，31423半球VR因为所以，冰激凌融化了，不会溢出杯子.V半球V圆锥8cm8.5cm例3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径.3cm3cm解：设钢球半径为,则由题意有R23243838.53R，解得1.5cm.R答：钢球的半径为1.5cm.例4、过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12πcm2，试求此球的表面积和体积。【变式训练】：过球的半径与球心距离为1的点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积。1.填空(1)球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.(2)球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍.(3)两球表面积之比为1︰2，则其体积之比是.(4)两球体积之比是1︰2，则其表面积之比是.241:2231:4注意:影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.2.某几何体的三视图如图所示,它的体积为()A.B.C.D.72483024C【解析】选C.该几何体下部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为,上部分是半球,体积为,所以体积为.2134123V31431823V30球的体积和表面积公式已知：球的半径为R.结论：体积V=______，表面积S=______.34R34πR2球与多面体的切接球与多面体的切接定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。截面设为1214=SR甲球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9一、球与正方体的切接ABCDD1C1B1A1O截面正方形的对角线等于球的直径。224=2SR乙ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面设为1223R球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR丙ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O1.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。35A1AC1CO变题：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPOA例2(1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．解（1）(1)正方体内接于球⇒正方体的体对角线长等于球的直径审题路线⇒求得球的半径⇒代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)．由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为23，即为球的直径．所以球的表面积为S＝4π·2322＝12π.12π例2(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()．A.3172B．210C.132D．310解（2）(2)BC为过底面ABC的截面圆的直径⇒取BC中点D，则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解．审题路线因为在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径，取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r＝122＋52＝13，即r＝132.答案(2)CC规律方法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练】(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm，将一个球放在容器口,再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()．A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3解析作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE＝2cm，AE＝CE＝4cm，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3(cm)，故该球的半径AD＝5cm，所以V＝43πR3＝500π3(cm3)．答案AA1、球与正四面体的外接问题设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.aR46二、球与正四面体的切接2.球与正四面体的棱切问题设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.aR423.球与正四面体的内切问题rShSV全面积底面积3131ar126ShSr底面积全面积14SrSh底面积全面积14rh？63haOPABCDKH例3、(1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6【例3】（2）正三棱锥的高为1，底面边长为,内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.26解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连结OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连接OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连结OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连结OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O