第8章 线性系统的状态空间分析与综合

网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！1第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数baaaaaEdtdiLiRU++=+dtdKEmbbθ=ammiCM=dtdfdtdJMmmmmmθθ+=22)()([)()(2mbmaammamamamCKfRsRJfLsJLsCsUs++++=Θ⑴设状态变量mmxθ=1，mxθ=2，θ=3x及输出量myθ=，试建立其动态方程;⑵设状态变量mmaxxixθθ===321,,及myθ=,试建立其动态方程。解：（1）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121xyxxxxxmmmmθθθθ，由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=mmmmmammmbbaaaaafJMiCMKEEiLiRUθθθ可推导出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++−+−===12333221xyUJLCxJLCKfRxJLRJLfxxxxxamammambmamaamam网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！2由上式，可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321xxx⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−maammamambmaJLRJfLJLCKfR0100010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321xxx+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡mamJLC00aUy=[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321xxx（2）由题意可知：,1aix=mmmyxxθθθ===,,32可推导出⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==−=−====+−−=+−−==23133231111xyxJfxJCJfiJCxxxULxLKxLRULLKiLRixmmmmmmmmammmmaaabaaaamabaaaaθθθθθ可列动态方程如下[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321010xxxy由⎪⎩⎪⎨⎧===mmmxxxθθθ321和⎪⎩⎪⎨⎧===mmaxxixθθ321得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−======3133221xJfxJCJfiJCxxxxxmmmmmmmammmmmθθθθ10110010220330RKabxLLLxaaaxxUaCfxxmmJJmm⎡⎤⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！3由上式可得变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=mmmmJfJCT01000108-2设系统微分方程为uyyyy66116=+++。式中，u和y分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。解：由题意可得：3266116=+++yusss可控标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213213210061006116100010xxxyuxxxxxx状态变量图如下：由方程得可观测标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213213211000066101101600xxxyuxxxxxx状态变量图如下：网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！48-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为321,,xxx。试求动态方程，并画出状态变量图。由结构图可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−−=+−−=⇒+=−==⇒=−=+−=+⇒+=−uxxxuxxsxsxuxxxxsxsxxxxxxxxsxxsssxxx232232322222)1(221221212313113321132112321即即即由上述三式，可列动态方程如下：[]1122331123001023020230100xxxxuxxxyxxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态变量图如下：网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！58-4已知系统传递函数为2268()43ssGsss++=++，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。解：(1)可控标准型[]uxxyuxxxx+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212125104310（2）可观测标准型[]uxxyuxxxx+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110254130（3）12332113486)(22++++=++++=sssssssG由上式可得对角型[]uxxyuxxxx+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212111232110038-5已知系统传递函数)2()1(5)(2++=sssG，试求约当型动态方程，并画出状态变量图。解：2515)1(5)2()1(5)(22+++−+=++=ssssssG网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！6由上式，可得约当型动态方程[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011xxxyuxxxxxx8-6已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为32122112321321321212261162xxxyxxyuxxxxuuxxuxx−+=−=+−−−=−+=+=写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图解：由题中给定方程可列写出动态方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤−⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121213213211012112100216116100010xxxyyuuxxxxxx状态变量图如下网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！78-7已知系统动态方程为[]010023011132001xxuy⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=−−+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎩，试求传递函数G(s)解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−+−=−=−21031103201100])[()(1sssBAsICsG=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++−−−−−210231567123ssssss=6737232−−++ssss8-8已知系统矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001，至少用两种方法求状态转移矩阵。解：（1）级数法：+++=2221tAAtIeAt+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++−+−4324324131211004131211tttttttt=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ttee00(2)拉氏变换法⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=−−−1100111001)(11ssssAsI⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+=−−ttAteessLe0011001118-9已知系统t2tt2t1t2tt2t6e5e4e4e(t)3e3e2e3e−−−−−−−−⎡⎤−−Φ=⎢⎥−+−+⎣⎦，和t2tt2t2t2tt2t2eeee(t)2e2ee2e−−−−−−−−⎡⎤−−Φ=⎢⎥−+−+⎣⎦网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！8判断12ΦΦ，是否是状态转移矩阵。若是，则确定系统的状态阵A；如果不是，请说明理由。解：转移矩阵应满足：IA=ΦΦ=Φ)0(,()1100I01⎛⎞Φ==⎜⎟⎝⎠210(0)01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Φ假设1()tΦ，2()tΦ为转移矩阵则A1=22122004461048()343626tttttttttteeeeteeeeΦ−−−−−−−−==⎡⎤−+−+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦A2=222220001222()23244−−−−−−−−==⎡⎤−+−+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦tttttttttteeeeteeeeΦ则A1()1tΦ=t2tt2tt2tt2t12e8e8e4e9e8e6e4e−−−−−−−−⎡⎤−−⎢⎥−+−+⎣⎦1()≠tΦA2()2tΦ=t2tt2tt2tt2t2e2ee2e2e4ee4e−−−−−−−−⎡⎤−+−+⎢⎥−−⎣⎦=2()tΦ＝()2tΦA2所以1()tΦ不是转移矩阵，()2tΦ是转移矩阵，其状态阵为0123⎡⎤⎢⎥−−⎣⎦。8-10试求下列状态方程的解xx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=300020001的解解：由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−==−=−−−011010)()()()(xAsILtxxAsIxxxAsIAxx网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！903201011000000310002100011300020001)(xeeexsssLxsssLtxttt⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=−−−−−−8-11已知系统状态方程为uxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101，初始条件为0)0(,1)0(21==xx。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。解：此题为求非奇次状态方程的解，对于非奇次状态方程。τττdButxttxt)()()0()()(0∫−Φ+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−=Φ−−−−−ttteteesssLsssLAsILt011)1(10111101)()(211111∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−tttttttttteedeeteeteetx22111)(0010)(0τττττ8-12已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(kukukykyky++=++++，并且y(0)=0,y(1)=1,试列写可控标准型离散动态方程，并求出(0)1()(1)1uuku⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时的系统响应。解：由差分方程可得离散动态方程如下：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)()()()()1(kxCkykuHkxGkx[]23103210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=CHG网学天地（）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！10⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅+⋅=101100)0()0()1(uHxGx[]21023)1()1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=xCy⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⋅+⋅=21110103210)1()1()2(uHxGx[]12123)2()2(−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⋅=xCy8-13已知连续系统的动态方程为[]xyuxx01,102010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=设采样周期sT1=，试求离散化动态方程。解：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢