(人教A版)高考数学复习：3.8《正弦定理和余弦定理的应用举例》ppt课件

第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线__________的角叫俯角(如图①)．上方下方栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形2．方位角从正______方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．北栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°.(3)其他方向角类似．3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[做一做]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°D栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形1．辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形2．解三角形应用题的一般步骤栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[做一做]2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．解析：由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．502m栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形考点一测量距离考点二测量高度考点三测量角度栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形考点一测量距离如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[解]在△ACD中，∠ACD＝120°,∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°,∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[规律方法]求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形1．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形解：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007m.即A，B两点间的距离为2007m.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形考点二测量高度(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.150栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[解析]根据题图，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin45°＝AMsin60°⇒AM＝1003m.在△AMN中，MNAM＝sin60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[规律方法]求解高度问题的注意事项：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形2.(2015·吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________m.40栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形考点三测量角度在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[规律方法]解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形3.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形解：如图，连接A1B2.由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102.因此，乙船每小时航行10220×60＝302海里．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形方法思想——函数思想在解三角形中的应用某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[解](1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°）＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝400t2－600t＋900＝4001t－342＋675.由于0t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破名师讲坛素养提升知能训练轻松闯关第三章三角函数、解三角形[名师点评](1)解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围．(2)关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示为关于角θ的三角函数，再利