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返回返回返回返回证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠FAD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.返回[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，返回因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．返回[例2]已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明]由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．返回(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上．返回证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论；(2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件；(4)用综合法有条理地写出证明过程；(5)检查证明过程，看有无矛盾或不合理的地方．返回1．利用相似三角形[例3]在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D.(1)求证：PCAC＝PDBD；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．返回[解](1)证明：∵∠CPD＝∠ABC，∠D＝∠D，∴△DPC∽△DBA，∴PCAB＝PDBD.又∵AB＝AC，∴PCAC＝PDBD.(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵∠B＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝∠APC，又∵∠CAP＝∠CAP，∴△APC∽△ACD，∴APAC＝ACAD.∴AC2＝AP·AD＝9.返回2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4]⊙O直径垂直于弦CD，E是⊙O上任一点，延长EC、AB相交于Q，ED交AQ于P(如图)，求证：AQ·PB＝AP·BQ.[证明]连接EA、EB.∵AB⊥CD，又AB是直径，∴CB＝BD，∴∠QEB＝∠PEB，则EB平分∠PEQ.∴EP∶EQ＝PB∶BQ.①返回延长QE到M，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEP＋∠PEB＝90°.∴∠MEA＋∠QEB＝90°.∵∠QEB＝∠PEB，∴∠MEA＝∠AEP.则EA是∠PEQ的外角平分线．∴EP∶EQ＝AP∶AQ.②由①、②得PB∶BQ＝AP∶AQ，即AQ·PB＝AP·BQ.返回3．利用面积关系[例5]Rt△ABC中，O是斜边BC上一点，以O为圆心的半圆与两直角边相切于M、N，如果两直角边分别为a、b，半圆的半径为r.求证：1r＝1a＋1b.[证明]连接AO、OM、ON.∵AB、AC与半圆相切于M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC.又设AB＝a，AC＝b，半圆的半径为r，返回∴S△ABC＝12ab.又S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＝12ar＋12br＝12r(a＋b)．∴ab＝r(a＋b)．则1r＝1a＋1b.返回4．利用射影定理[例6]如图，AB是⊙O直径，过A作切线，过B作割线交⊙O于E，交切线于F，过B再作割线交⊙O于C，交切线于D.求证：BE·BF＝BC·BD.返回[证明]连接AE、AC.∵AD是切线，∴BA⊥AD.∵AB是直径，∴AE⊥BF，AC⊥BD.∴AB2＝BE·BF，AB2＝BC·BD.∴BE·BF＝BC·BD.返回5.利用相交弦定理及切割定理[例7]如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)CE＝CF；(2)AC·PF＝BC·PT.返回[证明](1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴CE＝CF.返回(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PTPF＝TETF，∴ACBC＝PTPF，∴AC·PF＝BC·PT.返回点击下图进入“跟踪演练”返回点击下图进入“阶段质量检测”