椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明

1椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.证明：延长F2H至M，交PF1于M∵PT平分∠MPF2，又F2H⊥PT，∴2||||PMPF又12||||2PFPFa，∴11||||2||2||||PMPFaFMOHOHa.∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1，由椭圆定义知1212||||||||||||MFMFABMFABMF∴112111||||(||||)22OOMFABMFar∴⊙O、⊙O1相内切（三）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.证明：设旁切圆切x轴于'A，切2PF于M，F1P于N，则||||PNPM，2|||'|MFMA，11|||'|FNFA，∴1122||||||||PFPMFFMF1221222222|||||'||||'|222|'||'|||PFPFFAFFFAacFAFAacFA∴'A与A2重合.（四）椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.证明：设交点00(,)Sxy，1(,)Pmn，2(,)Pmn∵111PAASKK222PAPSKK，∴20220000222200000ynmaxayyynnnymamaxaxaamxanmaxa又222222222222211mnnmnbabbaama∴2202220ybxaa2200221xyab，即轨迹方程为22221xyab（五）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.证明：对x求导可得：2222'0xyyab∴2020'xbyya，∴切线方程为200020()xbyyxxya即2222220000yyayaxxbxb，即222222220000yyaxxbxbyaab，∴00221xxyyab（六）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过P0作椭圆的两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.证明：设111(,)Pxy，222(,)Pxy，则过点12PP、切线分别为1122122222:1,:1xxyyxxyyllabab∵0P在12ll、上∴1010221xxyyab，2020221xxyyab∴过P1，P2方程00221xxyyab3（七）AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka.证明：设(,),(,)AABBAxyBxy则(,)22ABABxxyyM2222ABABABOMABABABAByyyyyyKKxxxxxx①又222222222222221AABBABABxyxyxxyyababab∴22OMABbkka（八）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被P0所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.证法1：由上题的结论得：02220022200ABOPABybxbbkkkxaaay，∴弦AB方程为2220000000222220()bxyyxxyxyyxxyababa若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过P0的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.证法2：设弦交椭圆于111(,)Pxy，222(,)Pxy中点(,)Smn.1202222220112212222222012()1()PPPSnyxyxyxxbmbkkmxababyyana∴2222222200002222xmynmnmbmxbnanyaabab即22002222xxyyxyabab.（九）过椭圆22221xyab(a＞0,b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.证明：设两直线与椭圆交于点1122(,)(,)xyxy　　.42222220011222222221xyxyxyababab21010210102202022020ABACyyxxbkxxyyayyxxbkxxyya　①　②由题意得①＝②∴2102021020yyxxbxxyya，2201022010yyxxbxxyya展开222212020101220100222212010201210200()()()()yyyyyyyaxxxxxxxbyyyyyyyaxxxxxxxb　③　④220120122()2()ayyybxxx③－④得：20122120BCbxyyKxxay（定值）（十）椭圆22221xyab(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点12FPF，则椭圆的焦点三角形的面积为2122||||1cosbPFPF；122tan2FPFSb。证明：设1||PFm，2||PFn，则2mna.由余弦定理22222222cos444()4mnmncabmnb，221222(1cos)||||1cosbbmnPFPF.1222112sinsin||221cos2FPFPbSmnbtancy△（十一）若P为椭圆22221(0)xyabab上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF，则tantan22acac.证明：设1||PFm，2||PFn，2mna，122||2mnaaFFcc①5又122sincoscossinsin222||sin()2sincoscos222mnFFcoscossinsin1tantan222222coscossinsin1tantan222222②由①、②得：tantan22acac（十二）椭圆22221xyab（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：0()ykxx对称的充要条件是22220222()abxabk.分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线1l，斜率为1k，其中垂线l为0()ykxx则22220222()abxabk。证明：设1l方程为1yxmk即xmkky，中点为(,)xy得22222222222()20bkaymbkybkmab22122222mbkyyabk22222mbkyabk20222makxmkmybka()yykxx代入0(,0)x，220222()mkabxabk22222202222()()mkabxabk又△＞022222akbmk，∴2220222()abxabk注：还可以用点差法.（十三）已知椭圆22221xyab（ab0）和2222xyab（01），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.证明：设直线方程为ykxm,222222222222222()12()0xyxkxmkkmmxxabababbbykxm22221xyab视作1的特殊情况.6弦中点坐标21222221221Dkmxxbxkab与无关.而DDykxm∴(,)DDDxy与无关.∴线段,ADBC中点重合||||ABCD.（十四）已知椭圆22221(0)xyabab，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.证明：设A为11(,)xyB为22(,)xy2211221212121222222222221()()()()1DDxxxxxxyyyyababxyabxykab∴2221DoDDDoDyabPDxxykxxxka2222DDababaxaxaa（十五）已知椭圆方程为22221(0),xyabab两焦点分别为12,,FF设焦点△12PFF，1221,,PFFPFF则椭圆的离心率sin()sinsine。证明：由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sinsin)sin(2121PFPFFF7而)sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF∴sinsin)sin(ace。（十六）已知椭圆方程为22221(0),xyabab两焦点分别为12,,FF设焦点△12PFF中12,FPF则2cos12.e证明：设,,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。