正弦定理和余弦定理-(共35张PPT)

[小题热身]1．在△ABC中，a＝33，b＝3，A＝π3，则C为()A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：由正弦定理得3sinB＝33sinπ3，∴sinB＝12，∵ab,0Bπ3，∴B＝π6.∴C＝π－(A＋B)＝π－π3＋π6＝π2.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C等于()A.2π3B.π3C.3π4D.5π6解析：因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－35a＝75a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－12，所以C＝2π3.答案：A3．(2017·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C．23D．2解析：因为S＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.答案：B4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个解，即此三角形有两解．答案：B5．△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝π2，∴△ABC为直角三角形．答案：直角6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝45，a＝10.△ABC的面积为42，则c＝______.解析：依题意可得sinB＝35，又S△ABC＝12acsinB＝42，则c＝14.答案：14[知识重温]一、必记3●个知识点1．正弦定理①__________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝②____________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，③__________________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝④__________等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理a2＝⑤______________，b2＝⑥______________，c2＝⑦____________.余弦定理可以变形为：cosA＝⑧________，cosB＝⑨______________，cosC＝⑩__________.asinA＝bsinB＝csinC＝2RsinA∶sinB∶sinCc＝2RsinCc2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab3．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.二、必明2●个易误点1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．考向一应用正弦、余弦定理解三角形[自主练透型][例1](2016·山东，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBcosA.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．[解析](1)证明：由题意知2sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.(2)由(1)知c＝a＋b2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋b222ab＝38ab＋ba－14≥12，当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为12.—[悟·技法]—解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．—[通·一类]—1．(2017·山东师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解析：(1)∵bsinA＝3acosB，由正弦定理得sinBsinA＝3sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3，∴B＝π3.(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝3，∴c＝2a＝23.考向二判断三角形的形状[互动讲练型][例2]在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2B2＝c－a2c，则△ABC的形状一定是________．[解析]由题意，得1－cosB2＝c－a2c，即cosB＝ac，又由余弦定理，得ac＝a2＋c2－b22ac，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案]直角三角形—[悟·技法]—判断三角形形状的方法技巧解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．—[通·一类]—2．△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝π6，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.答案：D3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：∵sinAsinB＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC是等边三角形．答案：C考向三与三角形面积有关的问题[分层深化型][例3](2016·课标全国Ⅰ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)由已知得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.—[悟·技法]—三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．—[通·一类]—[同类练]——(着眼于触类旁通)4．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋1a＝4cosC，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为32，求a，c.解析：(1)∵b＝1，∴a＋1a＝4cosC＝4×a2＋b2－c22ab＝2a2＋1－c2a，∴2c2＝a2＋1.又A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝2，a＝3，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc＝12×1×2＝22.(2)∵S△ABC＝12absinC＝12asinC＝32，∴sinC＝3a，∵a＋1a＝4cosC，sinC＝3a，∴[14(a＋1a)]2＋(3a)2＝1，化简得(a2－7)2＝0，∴a＝7，从而c＝2.[变式练]——(着眼于举一反三)5．(2017·河北省三市第二次联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin(A＋π3)．(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝34c2，求sinC的值．解析：(1)∵asinB＝－bsin(A＋π3)，∴由正弦定理得sinA＝－sin(A＋π3)，即sinA＝－12sinA－32cosA，化简得tanA＝－33，∵A∈(0，π)，∴A＝5π6.(2)∵A＝5π6，∴sinA＝12，由S＝34c2＝12bcsinA＝14bc，得b＝3c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，则a＝7c，由正弦定理得sinC＝csinAa＝714.[拓展练]——(着眼于迁移应用)6．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解析：(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.