二次根式及其运算.

第4讲二次根式及其运算考情分析，真题体验第4讲二次根式及其运算•1．了解二次根式、最简二次根式的概念．•2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算．考情分析，真题体验二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以填空题、选择题形式出现．•1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算．•2．二次根式的求值，二次根式性质的应用等．•3．主要体现类比转化的思想方法．第4讲二次根式及其运算考情分析，真题体验第4讲二次根式及其运算1．(2015·安徽)计算8×2的结果是(B)A.10B．4C.6D．2【解析】8×2＝8×2＝16＝42．(2015·武汉)若代数式x－2在实数范围内有意义，则x的取值范为是(C)A．x≥－2B．x＞－2C．x≥2D．x≤2【解析】x－2有意义，则x－2≥0即x≥2.3．(2014·金华)在式子1x－2，1x－3，x－2，x－3中，x可以取2和3的是(C)A.1x－2B.1x－3C.x－2D.x－3【解析】x可以取2和3的只有x－2，必须保证式子有意义4．先化简，再求值：2(a＋3)(a－3)－a(a－6)＋6，其中a＝2－1.解：原式＝a2＋6a，当a＝2－1时，原式＝42－3考情分析，真题体验第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式的概念和性质1．(2015·宜兴)函数y＝x－2中自变量x的取值范围是________．2．(2015·资阳)已知：(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，则2b2－4b－a的值为____．【解析】第1题根据二次根式被开方数的非负性得出关于x的不等式；第2题首先根据两个非负数的和为零可求出a的值，和2b2－4b＝6，进而可求出2b2－4b－a的值．x≥212第4讲二次根式及其运算1．二次根式的概念：形如________________的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件：要使二次根式a有意义，则a≥0.第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究3．(2015·内江)函数y＝2－x＋1x－1中自变量x的取值范围是(B)A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1【解析】2－x中2－x≥0，分母x－1≠0即x≤2且x≠1第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究4．(2014·德州)若y＝x－4＋4－x2－2，则(x＋y)y＝____．【解析】y＝x－4＋4－x2－2，而x－4≥0，4－x≥0即x＝4故y＝－2，(x＋y)y＝(4－2)－2＝2－2＝1414第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式(组)解决．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式的简单计算5．(2015·眉山)计算：22－18＝_______．6．(2014·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是(B)A．①②B．②③C．①③D．①②③－2第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究7．计算：8×12＋(2)0.解：原式＝2＋1＝3【解析】第5题把18化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果；第6题由ab＞0，a＋b＜0先得出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算；第7题原式第一项利用二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究1．二次根式的性质：(1)(a)2＝a(________)．(2)a2＝|a|＝（a≥0），（a0）.(3)ab＝________(a≥0，b≥0)．(4)ab＝________(a≥0，b＞0)．a≥0a－aa·bab第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究2．最简二次根式的概念：把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的________或________的二次根式，叫做最简二次根式．3．二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中，先要把二次根式化成最简二次根式，类似于合并同类项，我们可以把被开方数相同的二次根式进行合并．因数因式第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究4．二次根式的乘除法：(1)二次根式的乘法：a·b＝________(a≥0，b≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝________(a≥0，b＞0)．abab第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究8．(2015·重庆)计算32－2的值是(D)A．2B．3C.2D．22【解析】32－2＝229．已知(x－y＋3)2＋2x＋y＝0，则x＋y的值为(C)A．0B．－1C．1D．4【解析】由(x－y＋3)2＋2x＋y＝0知(x－y＋3)2≥0，2x＋y≥0.即得(x－y＋3)2＝0，2x＋y＝0即x－y＋3＝0，2x＋y＝0，解得x＝－1，y＝2.∴x＋y＝2－1＝1.第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究10．(2015·大连)计算：(3＋1)(3－1)＋24－(12)0.解：原式＝(3)2－12＋26－1＝3－1＋26－1＝26＋1.第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究•1．最简二次根式必须同时满足以下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.•2．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中被开方数相同的二次根式；(3)将被开方数相同的二次根式进行合并．•3．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式、整式或分式．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式的混合运算11．已知10的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．【解析】先把b用含10的式子表示，再代入求值．解：∵3104，∴10的整数部分a＝3，小数部分b＝10－3，∴a2－b2＝32－(10－3)2＝9－(10－610＋9)＝－10＋610第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究12．(2014·襄阳)已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．【解析】根据x，y的值，先求出x－y和xy，再化简原式，整体代入求值即可．解：∵x＝1－2，y＝1＋2，∴x－y＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋42第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式混合运算，可以运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究13．(2015·台州)先化简，再求值：1a＋1－a（a＋1）2，其中a＝2－1.解：原式＝a＋1－a（a＋1）2＝1（a＋1）2.当a＝2－1时，1（a＋1）2＝1（2－1＋1）2＝1（2）2＝12.第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究14．(2015·从化改编)先化简，再求值：x＋1y÷x2－1y2，其中：x＝2＋1，y＝3.解：原式＝x＋1y·y2x2－1＝x＋1y·y2（x＋1）（x－1）＝yx－1；把x＝2＋1，y＝3代入上式，得yx－1＝32＋1－1＝32＝62第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究二次根式的综合应用15．(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．【解析】连结AC，CF，根据正方形性质求出AC，CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．解：如图，连结AC，CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝2，CF＝32，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝AC2＋CF2＝（2）2＋（32）2＝25，∵H是AF的中点，∴CH＝12AF＝12×25＝5第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究16．如图，△ABC中，AB＝17，AC＝10，BA边上的高CD＝8，求边BC的长．解：185第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究根据图形特点，作辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理，转化为二次根式的计算．第4讲二次根式及其运算考点剖析，归类探究