知识讲解-常用逻辑用语综合(文)-基础

常用逻辑用语综合（文）编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】知识点一：命题的四种形式如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.四种命题的关系互逆否命题若p则q原命题若p则q逆命题若q则p逆否命题若q则p互逆互逆否为互逆否为否否互互常用逻辑用语命题四种命题及其关系充要条件全称量词、存在量词互为逆否命题等价逻辑联结词简单命题与复合命题充分、必要、充要、既不充分也不必要或、且、非①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.知识点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p则q”形式的命题：①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充分必要条件（充要条件）.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用AB与BA；BA与AB；AB与BA的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.如图：“ÜAB”“xAxB，且xBxA”xA是xB的充分不必要条件.“AB”“xAxB”xA是xB的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.知识点三：逻辑联结词“或”“且”“非”“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：pq非ppq或pq且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。③“非p”与p的真假相反.要点诠释：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“xA或xB”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。知识点四：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“,()xMpx”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“,()xMpx”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.对含有一个量词的命题进行否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：,()xMpx，他的否定p：,()xMpx。全称命题的否定是特称命题。（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p：,()xMpx，他的否定p：,()xMpx。特称命题的否定是全称命题。要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个【典型例题】类型一：命题的四种形式例1.写出命题“已知,ab是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。【解析】逆命题：已知,ab是实数，若a=0或b=0,则ab=0,真命题；否命题：已知,ab是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；逆否命题：已知,ab是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。【点评】1.“已知,ab是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2.互为逆否命题的两个命题同真假；3.注意区分命题的否定和否命题.举一反三：【变式1】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。（1）若q1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。【答案】（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q1，为假命题；否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题。（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为零，真命题；逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。【变式2】“已知a、b、c、d是实数，若ac，bd，则abcd”，写出下面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为：,；上述命题的否命题为：,；上述命题的否定为：,.【答案】逆命题：已知a、b、c、d是实数，若abcd，则ac，bd；假命题。否命题：已知a、b、c、d是实数，若ac或bd，则abcd；假命题。命题的否定：已知a、b、c、d是实数，若ac，bd，则abcd.假命题。类型二：充要条件的判断【高清课堂：常用逻辑用语综合395487例2】例2.设aR，则a1是11a的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据幂函数1yx的性质，a1时11a成立；但当0a时11a也成立，设aR，则a1是11a的充分不必要条件.【点评】处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；举一反三：【变式1】指出下列各组命题中,A是B的什么条件（1）A：2,ppR；B：方程230xpxp有实根；（2）A：231x；B：2106xx；（3）A：圆222xyr与直线0axbyc相切；B：2222()cabr.【答案】(1)必要非充分条件．∵2p2p或2p，方程230xpxp有实根0214(3)02pp或6p，∴{|2App或2}p{|6Bpp或2}p，即xAxB.所以A是B的必要非充分条件．(2)必要非充分条件∵23112xxx或；210326xxxx或，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．(3)充要条件直线0axbyc与圆222xyr相切圆(0，0)到直线的距离dr，即222222()crcabrab.所以A是B的充要条件.【变式2】条件p:||1x,条件q:2x,则p是q的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A.【解析】p:||1x1x或1x；:2qx，显然“qp”成立“pq”成立，所以p是q的充分但不必要条件.类型三：复合命题真假的判断例3.已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.（1）p：2x是方程2560xx的根，q：5x是方程2560xx的根；p或q，（2）p：3，q：是有理数；p且q，（3）p：若2x，则xN或0x；非p【解析】（1）p或q：2x或5x是方程2560xx的根，真命题；（2）p且q：是大于3的有理数，假命题；（3）非p：若2x，则xN且0x，假命题；【点评】1.判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p和q的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2.条件“xN或0x”是“或”的关系，否定时要注意.举一反三：【变式1】若命题P：xAB，则命题“非P”是（）A．xA且xBB．xA或xBC．xABD．xAB【答案】A；【解析】∵因为命题p可陈述为：x属于集合A或x属于集合B，∴非p：x即不属于集合A且也不属于集合B，即非p：xA且xB，故选A.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487例3】【变式2】例4若命题p∨q是真命题，¬p是真命题，则（）（A）p和q都是真命题（B）p和q都是假命题（C）p是真命题，q是假命题（D）p是假命题，q是真命题【答案】D类型四：全称命题与特称命题真假的判断例4.判断下列命题的真假：（1）4,1xNx；（2）300,1xZx.【解析】（1）由于0N，当0x时，41x不成立，故(1)为假命题；（2）由于1Z，当1x时能使31x，所以（2）为真命题.【点评】1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证()px成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个0xx，使0()px不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个0xx，使0()px成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假。（1）21,04xRxx；（2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,220xRxx；（4）至少有一个实数x0，使得2020x。【答案】（1）p：20001,04xRxx（假命题）；（2）p：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p：2,220xRxx（真命题）；（4）p：2,20xRx（真命题）。