1.4.4单位圆对称性与诱导公式

4.4单位圆的对称性与诱导公式【知识提炼】1.角的终边的对称性(1)角α与-α的终边关于____对称;(2)角α与α±π的终边关于_____对称;(3)角α与π-α的终边关于____对称.x轴原点y轴2.正弦函数和余弦函数的诱导公式sinα-sinαcosα-sinαcosαsinα-cosα-sinα-cosαcosα-sinαcosαsinαcosα【即时小测】1.思考下列问题(1)诱导公式中的角α一定是锐角吗?提示:不一定,α是任意角.(2)诱导公式中哪些函数的名称改变,哪些函数的名称不改变?提示:诱导公式α与2kπ+α,α与2π-α,α与-α,α与π-α,α与π+α不变名称;α与±α需要改变名称.22.cos等于()【解析】选D.54(－)1122A.B.C.D.2222－－552coscoscoscos.44442(－)()－－3.若则=____________.【解析】答案:m5sinm7()，2sin7(－)255sinsin[sinm.777(－)－()]()4.sin____________cos(填“”“”或“=”).【解析】所以答案:566(－)51sinsinsin6662(－)，3coscos662(－)，5sincos.66＜(－)5.已知cosα=,求的值.【解析】原式=143sincos()2cos()()－－－sin[cos()2cos()()]－2sin(cos)cos12cos.coscos4－()－－－－－【知识探究】知识点正、余弦函数的诱导公式观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:如何理解记忆正、余弦函数的诱导公式?问题2:应用诱导公式化简、求值的顺序是什么?【总结提升】正、余弦函数的诱导公式1.对诱导公式的三点说明(1)在角度制和弧度制下,公式都成立;(2)公式中的角α可以是任意角;(3)诱导公式的基本思路是将求任意角的三角函数值转化为0°到90°上的三角函数值求解,体现了化归思想.2.对诱导公式的记忆【题型探究】类型一给角求值【典例】1.(2015·宜昌高一检测)的值等于()2.求sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)的值.2015sin3()1133A.B.C.D.2222【解题探究】1.题1中的π如何转化才能运用诱导公式?提示:先把π化为整数与分数的和的形式,再选择合适的诱导公式.2.题2中的角如何选择诱导公式?提示:按负化正、大化小的顺序选择.2015320153【解析】1.选D.20152sinsin67033()()223sinsinsin.3332()2.原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°·sin1050°=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)=-sin120°·cos210°-cos300°·sin330°=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=33111.2222【方法技巧】求任意角的正弦、余弦函数值的一般步骤【变式训练】(2015·枣庄高一检测)sin的值是()【解析】选D.136()3311A.B.C.D.222213131sinsinsin.6662()类型二给值求值【典例】1.(2015·黄山高一检测)已知那么cosα等于()2.(2015·上饶高一检测)若cos(5π+α)=,则sin=_______.51sin,25()2112A.B.C.D.5555132()【解题探究】1.sin与cosα有什么关系?提示:2.题2中cosα与有什么关系?提示:52()5sinsincos.22()()sin2()sincos.2()【解析】1.选B.故cosα=-.2.cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα=.所以cosα=-.又因为sin=cosα,所以答案:-5sinsincos22()()，1513132()1sin.23()－13【延伸探究】典例1中,若求cosα.【解析】因为故cosα=51sin25()，5sinsincos,22()()15【方法技巧】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.【变式训练】已知cosα=,则=__________.【解题指南】先化简再求值.【解析】答案:233sinsin22(－)()3sinsin22(－)()sinsin[22－(－)()]24cossincos.29()493sinsin22(－)()类型三三角函数式化简、求值【典例】1.(2015·东莞高一检测)化简·sin(α-2π)·cos(2π-α)的结果等于________.2.(2015·九江高一检测)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.cos29sin2()()sin()5cos(2)32sinsin()2()【解题探究】1.sin(α-2π)应如何化简?提示:方法一:sin(α-2π)=sinα;方法二:sin(α-2π)=-sin(2π-α)=-sin(-α)=sinα.2.由sin(α-3π)=2cos(α-4π)可以得到什么等式.提示:由sin(α-3π)=2cos(α-4π),可得sinα=-2cosα.【解析】1.原式=·sinα·cosα=sin2α.答案:sin2α2.因为sin(α-3π)=2cos(α-4π),所以-sin(3π-α)=2cos(4π-α),所以sinα=-2cosα,且cosα≠0.所以原式==-.答案:-sincossin5cos2cos5cos3cos2cossin2cos2cos4cos3434【延伸探究】题2中若条件不变,改为求则结果如何?【解析】原式=sinsin()2cossin(2)2()，()cos(sin)sincos1.(sin)sin()sinsin2【方法技巧】化简三角函数式的策略(1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值.(2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式变角.【变式训练】(2015·延安高一检测)化简:cos+sin(π-α)-sin(π+α)-sin(-α)=________.【解析】cos+sin(π-α)-sin(π+α)-sin(-α)=-sinα+sinα+sinα+sinα=2sinα.答案:2sinα2()2()【补偿训练】(2015·渭南高一检测)已知角α的终边在第一象限且与单位圆的交点为(1)求m的值.(2)求的值.3A,m.5()cossin()2cos(2)()【解析】(1)角α的终边在第一象限且与单位圆的交点为故(2)由点原式=3A,m,5()2234m1,m.55()解得3443A,sincos,5555()，故，44sinsin1655.3cos155易错案例利用诱导公式求值【典例】(2015·九江高一检测)已知sin(α+75°)=,则cos(α-15°)等于()123311A.B.C.D.2222【失误案例】【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?提示:出错的根本原因是在利用诱导公式求值时符号错误,导致结果错误.【自我矫正】选C.因为cos(α-15°)=sin[90°+(α-15°)]=sin(α+75°)=.12【防范措施】利用诱导公式求值1.利用角度之间的关系求值利用诱导公式解决给值求值问题时,应分析已知角与未知角之间的联系,函数名称的差异,从而选择恰当的诱导公式求值.例如,本题就是利用90°+(α-15°)=α+75°,即角之间的联系选择诱导公式解题.2.准确应用诱导公式应用诱导公式时一定要关注函数名称、符号的变化,准确应用公式才能准确求值.如本题就是在应用诱导公式时符号出错.