椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广

椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论尤溪文公高级中学郑明淮圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为双曲线22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有22ABOMbkkayxMF1F2OAB证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka例1、已知椭圆22221xyab，的一条弦所在的直线方程是30xy，弦的中点坐标是2,1M（），则椭圆的离心率是（）A、12B、22C、32D、55分析：本题中弦的斜率1ABk且12OMk，根据定理有2212ba，即2222112acea，解得22e，所以B答案正确.例2、过椭圆221164xy内的一点(2,1)M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB，根据椭圆中点弦的斜率公式知14ABOMkk，显然12OMk，所以12ABk，故所求的直线方程为11(2)2yx，即240xy.例3、过椭圆2216436xy上的一点(8,0)P作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.解：设PQ的中点为(,)Mxy，则OMykx，8PQykx，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816yyxx，即所求的轨迹方程为29(8)16yxx例4、已知椭圆22221(0)xyabab，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线l与x轴交于0(,0)Px，求证：22220ababxaa.证明：设AB的中点为11(,)Mxy，由题设可知AB与x轴不垂直，10y，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABxbkay2121laykbx，所以直线l的方程为：211121()ayyyxxbx，令0y解得21022axxab，1||xa，2022aaxaab，即：22220ababxaa例5、已知双曲线2212yx，经过点(1,1)M能否作一条直线l，使l交双曲线于A、B两点且点M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l的斜率为k，则1OMk，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k，此时l的方程为：12(1)yx，即21yx，将它代入双曲线方程2212yx并化简得：22430xx，而该方程没有实数根.故这样的直线l不存在.定理1推论：若A、B是椭圆22221xyab上关于中心对称的两点，P是椭圆上任一点，当PA、PB的斜率PAk和PBk都存在时，有22PAPBbkka.证明：如图：连结AB，取PB中点M，连结OM，则OMPA，所以有OMPAkk，由椭圆中点弦斜率公式得：22OMPBbkka.所以22PAPBbkka.类似地可以证明定理2推论：若A、B是双曲线22221xyab上关于中心对称的两点，P是双曲线上的任一点，当PA、PB的斜率PAk和PBk都存在时，有22PAPBbkka.yxMBF1F2OAP