1等腰三角形典型例题练习...等腰三角形典型例题练习一.选择题(共2小题)1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3二.填空题(共1小题)3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________.三.解答题(共15小题)4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.6.>已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?并说明理由.7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.(1)∠E等于多少度?(2)△DBE是什么三角形?为什么?8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,...且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:DF=EF.10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE.11.(2012•牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:如图①,连接AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB•PE,S△ACP=AC•PF,S△ABC=AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴AB•PE+AC•PF=AB•CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH.(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=_________.点P到AB边的距离PE=_________.12.数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE_________DB(填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE_________DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).13.已知:如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由....14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的结论.(2)求∠BFD的度数.15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,求证:AE=CF.16.已知:如图,在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=90°,OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?请说明理由.17.(2006•郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明;(2)若D在底边的延长线上,(1)中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?请说明理由.18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?写出你的猜想并加以证明....等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一.选择题(共2小题)1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定考点:角平分线的性质.1418944分析:由已知条件进行思考,结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长,问题可解.解答:解:∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C.2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点:平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.1418944分析:由△ACD和△BCE是等边三角形,根据SAS易证得△ACE≌△DCB,即可得①正确;由△ACE≌△DCB,可得∠EAC=∠NDC,又由∠ACD=∠MCN=60°,利用ASA,可证得△ACM≌△DCN,即可得②正确;又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.解答:解:∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°,AC=DC,EC=BC,∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,故①正确;∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=60°,∴∠ACD=∠MCN=60°,∵AC=DC,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN,故②正确;又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°,∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC=∠ACD=60°,∴MN∥AB,故③正确.故选D.二.填空题(共1小题)3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:3....考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.1418944分析:首先根据题意求得:∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:AB=1:,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结果.解答:解:∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°,∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,,∴△DEF是正三角形,∴BD:DF=1:①,BD:AB=1:3②,△DEF∽△ABC,①÷②,=,∴DF:AB=1:,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:3.故答案为:1:3.三.解答题(共15小题)4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的定义.1418944分析:过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD,根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可.解答:证明:过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角平分线性质),∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°,∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°,∴∠MED=∠NFD,...在△EMD和△FND中,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.考点:等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.1418944分析:根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC.然后即可得出答案.解答:解:∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.6.>已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?并说明理由.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.1418944分析:用(HL)证明△EBD≌△FCD,从而得出∠EBD=∠FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.解答:△ABC是等腰三角形.证明:连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.(1)∠E等于多少度?(2)△DBE是什么三角形?为什么?...考点:等边三角形的性质;等腰三角形的判定.1418944分析:(1)由题意可推出∠ACB=60°,∠E=∠CDE,然后根据三角形外角的性质可知:∠ACB=∠E+∠CDE,即可推出∠E的度数;(2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边上的高,也是∠ABC的角平分线,即得:∠DBC=30°,然后再结合(1)中求得的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.解答:解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴,(2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°,∴,∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.考点:含30度角的直角三角形.1418944分析:由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°可以推出AB=2BC,同理可得BC=2BD,则结论即可证明.解答:解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:DF=EF.考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形