第六章-多元函数微分学---知识点

第六章多元函数微分学知识点一：多元函数的极限、连续•极限存在：Ayxfyxyx),(lim),(),(00函数连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx计算上可以使用一元函数求极限的方法：例如：换元，重要极限，等价无穷小等等。例4证明：证362(,)(0,0)limxyxyxy极限不存在。取,3kxy263)0,0(),(limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．例5讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例6.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.21二、偏导数),(yxfz定义Axyxfyxxfxzxyyxx),(),(lim|0000000Byyxfyyxfyzxyyxx),(),(lim|0000000计算：•A)对x求偏导，y看作常数•B)在分段函数的分界点，不连续点的偏导数用定义求。22xzyxz2C)高阶偏导数（纯偏导数，混合偏导数例P692、3222222ln1.,,.yuuuuxzxyxzy例9设求),(yxfz),(00yx三、全微分在可全微分；注：可全微分、可偏导、连续的关系1)定义：)(oyBxAz22yx0000|,|yyxxyyxxyzBxzA多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导2)计算dyyzdxxzdzyyxxyyxx0000||221.(,),)(),zfxyxy若可微且则002.(,)(,)zfxyxy函数在点处连续和存在偏导数是00(,)xy它在处可微的条件.0lim.zdz3.(,)(,),(,)xyfxyfxyfxy函数的偏导数连续是函数(,).fxy可微的条件0必要充分21sin()03.(,),(0,1).00xxyxyxyfxyfxy设求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx解201sin()limxxxx220sin()lim1.()xxx例11）222222,,),2,(yzxzdzxyyxfz求2）22),,(xzyxxfz3）yxzyxfu222),(四：复合函数的求导(链式求导)4）;,),,,(2yxuxeuyxufzy5）222,),(),,(yzyxzxyfyxxyfz注：若2(,)zfxyC，则yxzxyz22五、隐函数求导：1、两边同时对x求导，注：隐含y=f(x)（可适用于任意阶数）2、隐函数求导公式（仅适用于一阶）例2已知xyyxarctanln22，求dxdy，22dydx.令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx222(1)()()(1)()dyyxyxyydxxy2232()()xyxy例221),,.2)ln,3)(,,)0(,),.zzzxyzexxyxzdzzyFxyyzzxzzxyzzdzxy求求确定求，及六：方向导数与梯度函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有0000(,)(,)(,)lxyxyfffelxy.),,(kzfjyfixfzyxgradf2）梯度jyfixf),(yxgradf例31）求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.2),(1,1)__________xgradfy函数f(x,y)=arctan例31）求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解故x轴到方向l的转角4.;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数)22(2221lz.22这里方向l即为}1,1{PQ,22(,)22PQe21.3(1,2)zxxyMx函数在点处沿轴正向的方向导.Mzx数2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz函数在点处沿从点到点.的方向的方向导数为3.(,,)arctan,grad(1,1,1).xfxyzzfy则8981311(,,)224七.多元函数微分学的应用1）空间曲线的切线与法平面2）曲面的切平面与法线A)设空间曲线的方程)()()(tztytx一、空间曲线的切线与法平面在点)(),(),(000tttT000(,,)xyz在000(,,)Mxyz切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx法平面：过M点且与切线垂直的法平面.0))(())(())((000000zztyytxxt例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即1.空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为特殊地：2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为000000()()()0.yzxyzxzxyzxyFFFFFFxxyyzzGGGGGGzyxzyxGGGFFFkjiT注：切向量例42）求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz225.(1,1,2)0zxyMxyz曲线上点处的切线方程是.法平面方程为.112110xyz0xy设曲面方程为0),,(zyxF二、曲面的切平面与法线nTM)),,(),,,(),,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx切平面的法向量：切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx特殊地：1.空间曲面方程形为),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令(,,1)xynff例43）求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx3）求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.7.(2,1,2)zxyM曲面上点处的切平面方程是;.法线方程为212121xyz220xyz设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1)二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.八、多元函数的极值、最值2)驻点：000000(,)0,(,)0,(,)xyfxyfxyxy则为驻点极值点驻点,驻点极值点(错)驻点极值点注意：求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.3）怎样求极值点1）先求驻点0),(00yxfx,0),(00yxfy，2）Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，3）判断则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．多元函数最值：求法1）在D内求驻点2）求边界点的值3）比较出最值拉格朗日乘数法目标函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.5）条件极值：对自变量有附加条件的极值．例52231)(,)4()(,)fxyxyxyfxyxyzxyzC求在(2，-2)处的极值.2)求，z在条件下的极值。