高等数学(7)多元函数微分学---简明版

第六章多元函数微分学及其应用假设已经搞懂了一元函数的微分（包括极限、连续和导数概念）理论，那么这一章的主要任务就是弄清多元函数微分与一元函数微分的联系与区别。其中，从直线到平面的推广或拓展，是最值得注意的。特别是与极限概念相关的部分。6.1多元函数的基本概念1.N维空间中的点集2.N维空间中点列的收敛3.多元函数的定义4.多元函数的极限5.多元函数的连续性第六章第一节作业题1（2,4）；2；3（2,4,5,6）；4；5（3）；8.1.n维欧氏空间点集（点集拓扑的基本概念）(2)中两点间的距离（欧式距离或度量）定义；欧氏（向量）空间，向量的模。nR(1)n元有序数组所组成的集合（n维空间与n维点）.(3)欧氏空间中的某些基本拓扑概念：（ii）欧式空间一个子集的内点、外点、边界点和边界；集合的聚点。（iii）开集、闭集、（弧或道路）连通集；（开）区域（连通开集）、闭区域（开区域加上边界）。（iv）有界集、无界集。去心邻域；一般的邻域概念。（i）-邻域；2.n维欧式空间中点列的收敛（n维空间中的极限）（1）n维欧式空间中点列收敛的定义（语言）N（2）n维空间点列收敛的坐标刻画（定理6-1）.（3）点列收敛的某些基本性质：极限的唯一性、点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。注：由于在n维空间中没有序（大小）的规定，也没有除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界和除法的讨论。（4）n维空间中的柯西列，以及点列收敛的柯西准则（即n维欧式空间的度量完备性-定理6-2）。（5）由点列极限刻画集合聚点-极限点（定理6-3）。3.多元函数（1）多元函数的定义-本质上就是n维空间某个子集到实数集的映射。符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个集合的表示）；自然定义域约定。【例6-1】一定量的理想气体的压强p，体积V和绝对温度T之间具有关系,其中R为常数.VRTp【例6-2】长方体体积V是它的长x，宽y，高z的三元函数xyzV【例6-3】求函数的定义域.xeyxu)]2)(1ln[(（2）多元初等函数。（3）多元函数的图-曲面与超曲面概念（参见书中图6-2），二元（连续）函数的图像。4.多元函数的极限（本章的难点大多在这一节）注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为主介绍相关内容。（1）多元函数极限的定义（语言定义-定义6-4）),,(21nxxxfu，（注：在二维空间情况下记为）(,)zfxy即0,0,0,,(0|()|)apDppfpa则称常数a)(pf0pp是函数在时的极限。记为apfpp)(lim0设000((,)()(,))oapUpDfpUa0p是定义在上的n元函数，nDR。如果是的聚点D注：经常记),(),,,(,)(101120nnniiiaapxxpaxpp其中特别的，在n=2时，根据上面的记法，并记),(,),(000yxpyxp则上述极限可以记作ayxfyxfyyxxyxyx),(lim),(lim0000),(),(或者00(,)((,)(,))fxyaxyxy注意：上述极限-称为重极限-的刻画，也可以利用空间的矩形邻域，用各个坐标之间的距离描述。【例6-4】用定义证明.0lim2222)0,0(),(yxyxyx（2）例与反例【例6-5】设讨论当(x,y)→(0,0)时，f(x,y)的极限是否存在？,),(22yxxyyxf从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远比一元函数极限的情况复杂。【例6-6】求.11lim)0,0(),(xyxyyx注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。【例6-8】求.)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx【例6-7】求.)sin(lim)2,0(),(xxyyx（3）累次极限概念。),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfyyxx00limlim(,)yyxxfxy问题：请考察下面三个符号，；；讨论一下，它们所表达的是什么意思？有区别吗？定义（6-5）-累次极限概念（从二次推广到n次）。从几何直观考虑累次极限与重极限的区别。（4）累次极限与重极限之间的某些关系（i）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：2211sinsin(0)(,)0(0)xyxyyxfxyxy当自变量趋近于0时，其累次极限都不存在，但是重极限为0.注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。（ii）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。考察函数yxyxyxyxf22),(（自变量趋近于0）.（v）两个相互关联的结论：若重极限与累次极限都存在，则它们不能不相等；反之，如累次极限存在且不相等，则重极限不能存在。（iv）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在。,),(22yxxyyxf其累次极限均为0，但重极限不存在。直观说明：如果两个累次极限不相等，那么从函数的图像可以看出，在接近z轴的时候，图像一定有断裂（或上下撕裂）的现象，重极限不可能存在。时，观察函数)0,0(),(yx例：当（iii）一个累次极限存在，另一个也可能不存在。例：考察函数)).0,0(),((,1sin),(yxyxyxf当1.计算下列极限（考虑累次极限，留作练习）：.lim)3(22yxyxyxyx222222(,)(0,0)1cos()(1)lim;()(1)xyxyxyxye32211(2)lim(1);xyxyxyxy;)(lim22222)0,0(),(yxyxyxyx2.判断该极限是否存在，若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？22(,)(0,0)1limsinxyxyxy3.讨论的情况。附录-一点补充：关于累次极限和重极限的关系。前面仅仅讨论了二元函数的累次极限与重极限之间的部分关系，并没有全面展开。但不妨碍自己探讨。有同学提出：假设重极限和某个累次极限存在，是否这两个极限也必然是相等的。这是对的。下面给出证明。．byxfayxfyyxxyxyx),(limlim;),(lim0000),(),(假设函数满足如下关系：下面证明。用反证法，假设，将推出矛盾。记baba.2,||rrba由于重极限存在并且，存在，00(,)(,)lim(,)xyxyfxya，00limlim(,)xxyyfxyb．0000limlim(,)lim(,).xxyyxxfxyxyb当时，。记||||00yyxx|),(|ayxf因此有由于所以存在，先取定2|),(|||,0101byxxx020|||(,)(,)|2yyfxyxy。由（1）式，可取0,满足10min{}(,)2oxUx，200lim(,)(,)yyfxyxy（1）再取，于是有下面关系式成立：20min{}(,)2oyUy，00|||(,)||(,)||(,)(,)||(,)|abafxyfxybfxyxyxybr22这与矛盾。||2abr注：以上，其实也证明了累次极限都存在，则这些极限都相等。但是，一个累次极限与重极限存在（则相等），并不能推出另一个累次极限存在。可自行举例。（1）多元函数连续的定义（语言定义-定义6-6）0000((,)()((),))pUpDfpUfp即000lim()(lim)()ppppfpfpfp0p是的聚点，并且属于DD，如果000,0,,(|()()|)pDppfpfp也就是),,(21nxxxfu，(,)zfxy元函数，设是定义在上的n（注：在二维空间情况下记为）nDR则称函数在点处是连续的。0p5.多元函数的连续性对照一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是，这里的点不是一个数，而是一个“多维点”，它是由n个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的时候，所要分析的情形也可能复杂一些。比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概念。记0000(,)(,)fxxyyfxy；),(),(00yxfyxfz0xxx0yyy；。则二元函数在点处连续就是(,)zfxy),(000yxp0lim)0,0(),(zyx这里的),(),(00yxfyxfz0000(,)(,)fxxyyfxy被称为函数的全增量。注1：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一条线）。注2：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数在该集合上是连续的（尽管在定义域外可能有不连续点）。（2）连续函数的某些性质（i）对四则运算的封闭性-初等函数的连续性。【例6-9】求.)ln(lim222)1,2(),(yxexyyx（ii）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；一致连续性。（iii）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。注：（ii）的证明，涉及到有界闭集的紧性-既满足有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。（iii）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。复习题6-1（1）讨论422sinyxkyx在时是否存在极限？若存在，其极限与k的取值是否相关？若不存在，请说明理由。)0,0(),(yx习题6.1-6.假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，是否可以认为这个函数是连续的二元函数？222222(0);(,)0(0)xyxyxyfxyxy＝．6.2偏导数与高阶偏导数1.偏导数2.高阶偏导数第六章第二、三节作业题第二节：1;2（2,4,6）；3（2）；4；5；6；7;9（2，4）；10；12.第三节：1；2（3,5,6）；4；5（2）；6；8；11.1.偏导数（1）偏导数的定义与派生概念),,(21nxxxfu，多元函数关于第i个自变量的偏增量、以及对第i个自变量的偏导数、可偏导。（以二元、三元函数为例）及其记号。偏导函数0ippux00xxyyzx00xxyyfx00yyxxxz),(00yxfx00(,)xfxy（i）在某点的偏导数记法：（ii）偏导函数的记法：,iuxzx,,fx(,)xfxy,(,)xfxy00xxyyfy00(,)yfxy等。（2）偏导数的几何意义（3）偏导数计算方法-将其它变量看做参数即可【例6-10】设z=ln(x+lny)，求.,),1(),1(eeyzxz【例6-11】设求.,yxzz,arcsin)1(yxyxz【例6-12】设验证.0yzyxzx,arcsinxyxyz【例6-13】求的偏导数.222zyxr【例6-14】设一金属平板在点(x,y)处的温度由确定，其中T的单位是℃，x,y的单位是m，求T在点(2,1)处沿x方向和y方向的变化率.22160),(yxyxT2.高阶偏导-混合偏导（1）高阶偏导、二阶混