9.二元函数的泰勒公式

一、问题的提出).10()()!1()()(!)()(2)())(()()(1000)1(00)(200000nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：意义：可用n次多项式来近似表达函数)(xf，且误差是当0xx时比nxx)(0高阶的无穷小．问题：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.即设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1n阶的连续偏导数,),(00hyhx为此邻域内任一点,能否把函数),(00kyhxf近似地表达为00,yykxxh的n次多项式，且误差是当022kh时比n高阶的无穷小．定理设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1n阶的连续偏导数,),(00hyhx为此邻域内任一点,则有二、二元函数的泰勒公式)10(),,()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号),(00yxfykxh),,(),(0000yxkfyxhfyx表示),(002yxfykxh表示),,(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx一般地,记号表示),(00yxfykxhm.),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC证引入函数).10(),,()(00tktyhtxft显然),,()0(00yxf).,()1(00kyhxf由的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(t),,(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(nnnn将),()0(00yxf,),()1(00kyhxf及上面求得的)(t直到n阶导数在0t的值,以及)()1(tn在t的值代入上式.即得)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf其中)2().10(),,()!1(1001kyhxfykxhnRnn证毕公式)1(称为二元函数),(yxf在点),(00yx的n阶泰勒公式,而nR的表达式)2(称为拉格朗日型余项.由二元函数的泰勒公式知,nR的绝对值在点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数M.于是,有下面的误差估计式:)3(,!12sincos!1!111111nnnnnnMnnMkhnMR其中.22kh由)3(式可知,误差nR是当0时比n高阶的无穷小.当0n时,公式)1(成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数),(yxf的偏导数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零,则函数),(yxf在该区域内为一常数.在泰勒公式)1(中,如果取0,000yx,则)1(式成为n阶麦克劳林公式.),,()!1(1)0,0(!1)0,0(!21)0,0()0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn)10()5(例1求函数)1ln(),(yxyxf的三阶麦克劳林公式.解,11),(),(yxyxfyxfyx,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx,)1(!2333yxyxfpp),3,2,1,0(p,)1(!3444yxyxfpp),4,3,2,1,0(p,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx,)(2)0,0()0,0(3)0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx又0)0,0(f,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx其中).10(,)1()(41),(!414443yxyxyxfyyxxR三、极值充分条件的证明定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值.证依二元函数的泰勒公式，对于任一)(),(0100PUkyhx有),(),(0000yxfkyhxff),(2),([2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx)],(002kyhxfkyy).10()6()1(设02BAC,即.0),(),(),(2000000yxfyxfyxfxyyyxx)7(因),(yxf的二阶偏导数在)(01PU内连续,由不等式)7(可知,存在点0P的邻域)()(0102PUPU,使得对任一)(),(0200PUkyhx有.02xyyyxxfff)8(注:将),(yxfxx在点),(00kyhx处的值记为xxf,其他类似.由)8(式可知,当)(),(0200PUkyhx时,xxf及yyf都不等于零且两者同号.于是)6(式可写成.21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff当kh、不同时为零且)(),(0200PUkyhx时,上式右端方括号内的值为正,所以f异于零且与xxf同号.又由),(yxf的二阶偏导数的连续性知xxf与A同号,因此f与A同号,当0A时),(00yxf为极小值,当0A时),(00yxf为极大值.)2(设02BAC,即.0),(),(),(2000000yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定,0),(),(0000yxfyxfyyxx则.0),(00yxfxy分别令hk及hk,则由)6(式可得],),(2),([21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx及],,),(2),([22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx其中.1,021当0h时,以上两式方括号内的式子分别趋于极限),,(2),(20000yxfyxfxyxy及从而当h充分接近零时,两式方括号内的值有相反的符号,因此f可取不同符号的值,所以),(00yxf不是极值.再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时为零的情形.不妨.0),(00yxfxy先取0k,于是由)6(式得).,(21002yhxfhfxx当h充分接近零时,f与),(00yxfxx同号.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy其中s是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当s充分小时,f与),(00yxfxx异号.如此证明了:在点),(00yx的任意邻近,f可取不同符号的值,因此),(00yxf不是极值.)3(考察函数42),(yxyxf及.),(32yxyxg容易验证,这两个函数都以)0,0(为驻点,且在点)0,0(处都满足02BAC.但),(yxf在点)0,0(处有极小值,而),(yxg在点)0,0(处却没有极值.1、二元函数的泰勒公式；四、小结2、二元函数的拉格朗日中值公式；n3、阶麦克劳林公式；4、极值充分条件的证明.练习题的泰勒公式．点在一、求函数)2,1(5362),(22yxyxyxyxf的三阶泰勒公式．二、求函数)1ln(),(yeyxfx阶泰勒公式．的三、求函数neyxfyx),(练习题答案．一、22)2()2)(1()1(25),(yyxxyxf24.)233(!31)2(!21)1ln(333222xxeRRyxyyxyxyyye其中二、.10),()!1()(!1)2(!21)(11111)(1122nnnnyxnnnnnnyxyyxCxneRRyyxCxnyxyxyxe其中三、